Плоские кривые. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ 11
Пример 12. Рассмотрим полярные координаты ˜x = ϕ и ˜y = r. Поскольку
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ,
якобианом этой замены является
−r sin ϕ cos ϕ
r cos ϕ sin ϕ
= −r.
Таким образом, переход к полярным координатам является невырожденной заменой во всех точ-
ках плоскости, кроме начала координат.
Предложение 1. Пусть y = F (x) — дифференцируемая функция. Предположим, что после
замены координат (56) она перейдёт в функцию ˜y =
˜
F (˜x). Тогда
y
′
=
∂g
∂ ˜y
· ˜y
′
+
∂g
∂ ˜x
∂f
∂ ˜y
· ˜y
′
+
∂f
∂ ˜x
, (58)
где y
′
=
dy
dx
и ˜y
′
=
d˜y
d˜x
.
Пример 13. При переходе к полярным координатам первые производные преобразуются по
правилу
y
′
=
sin ϕ · ˙r + r cos ϕ
cos ϕ · ˙r − r sin ϕ
, (59)
где ˙r =
r
ϕ
.
Пусть
h(˜x, ˜y, ˜y
′
) =
∂g
∂ ˜y
· ˜y
′
+
∂g
∂ ˜x
∂f
∂ ˜y
· ˜y
′
+
∂f
∂ ˜x
(60)
— правая часть равенства (58).
Предложение 2. Пусть y = F (x) — дифференцируемая функция. Предположим, что после
замены координат (56) она перейдёт в функцию ˜y =
˜
F (˜x). Тогда
y
′′
=
∂h
∂ ˜y
′
· ˜y
′′
+
∂h
∂ ˜y
· ˜y
′
+
∂h
∂ ˜x
∂f
∂ ˜y
· ˜y
′
+
∂f
∂ ˜x
, (61)
где y
′′
=
d
2
y
dx
2
и ˜y
′′
=
d
2
˜y
d˜x
2
.
Замечание 12. Пользуясь равенством (60), можно вычислить явный вид частных производных
функции h, входящих в выражение (61). Однако, поскольку полученные формулы оказываются
весьма громоздкими, при конкретных вычислениях удобней сначала получить вид функции h, а
потом найти её частные производные.
Пример 14. В случае перехода к полярным координатам имеем
h =
sin ϕ · ˙r + r cos ϕ
cos ϕ · ˙r − r sin ϕ
.
Поэтому
∂h
∂ ˙r
= −
r
(cos ϕ · ˙r −r sin ϕ)
2
,
∂h
∂r
=
˙r
(cos ϕ · ˙r −r sin ϕ)
2
,
∂h
∂ϕ
=
˙r
2
+ r
2
(cos ϕ · ˙r −r sin ϕ)
2
и, значит,
y
′′
=
−r¨r + 2 ˙r
2
+ r
2
(cos ϕ · ˙r −r sin ϕ)
3
. (62)
                                               ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ                                        11

  Пример 12. Рассмотрим полярные координаты x̃ = ϕ и ỹ = r. Поскольку
                                         x = r cos ϕ,                  y = r sin ϕ,
якобианом этой замены является
                                    −r sin ϕ cos ϕ
                                                   = −r.
                                    r cos ϕ sin ϕ
Таким образом, переход к полярным координатам является невырожденной заменой во всех точ-
ках плоскости, кроме начала координат.
  Предложение 1. Пусть y = F (x) — дифференцируемая функция. Предположим, что после
замены координат (56) она перейдёт в функцию ỹ = F̃ (x̃). Тогда
                                                           ∂g                ∂g
                                                 ′         ∂ ỹ   · ỹ ′ +   ∂ x̃
                                               y =         ∂f                ∂f
                                                                                    ,              (58)
                                                           ∂ ỹ   · ỹ ′ +   ∂ x̃
             dy              dỹ
где y ′ =    dx   и ỹ ′ =   dx̃ .
  Пример 13. При переходе к полярным координатам первые производные преобразуются по
правилу
                                      sin ϕ · ṙ + r cos ϕ
                                 y′ =                      ,                     (59)
                                      cos ϕ · ṙ − r sin ϕ
где ṙ = ϕr .
  Пусть
                                                                    ∂g                  ∂g
                                                                    ∂ ỹ   · ỹ ′ +     ∂ x̃
                                          h(x̃, ỹ, ỹ ′ ) =        ∂f                  ∂f
                                                                                                   (60)
                                                                    ∂ ỹ   · ỹ ′ +     ∂ x̃
— правая часть равенства (58).
  Предложение 2. Пусть y = F (x) — дифференцируемая функция. Предположим, что после
замены координат (56) она перейдёт в функцию ỹ = F̃ (x̃). Тогда
                                                ∂h                  ∂h          ∂h
                                          ′′    ∂ ỹ ′   · ỹ ′′ +           ′
                                                                    ∂ ỹ · ỹ + ∂ x̃
                                         y =               ∂f              ∂f
                                                                                               ,   (61)
                                                           ∂ ỹ · ỹ + ∂ x̃
                                                                    ′

             d2 y               d2 ỹ
где y ′′ =   dx2    и ỹ ′′ =   dx̃2 .
  Замечание 12. Пользуясь равенством (60), можно вычислить явный вид частных производных
функции h, входящих в выражение (61). Однако, поскольку полученные формулы оказываются
весьма громоздкими, при конкретных вычислениях удобней сначала получить вид функции h, а
потом найти её частные производные.
   Пример 14. В случае перехода к полярным координатам имеем
                                           sin ϕ · ṙ + r cos ϕ
                                      h=                        .
                                           cos ϕ · ṙ − r sin ϕ
Поэтому
                                 ∂h                      r
                                      =−                             ,
                                 ∂ ṙ      (cos ϕ · ṙ − r sin ϕ)2
                                 ∂h                   ṙ
                                      =                           ,
                                 ∂r      (cos ϕ · ṙ − r sin ϕ)2
                                 ∂h              ṙ 2 + r 2
                                       =
                                 ∂ϕ      (cos ϕ · ṙ − r sin ϕ)2
и, значит,
                                             −rr̈ + 2ṙ 2 + r 2
                                  y ′′ =                           .                               (62)
                                          (cos ϕ · ṙ − r sin ϕ)3

Страницы