Плоские кривые. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

8 ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ
Кривизна. Как измерить степень искривлённости плоской линии? Один из способов — вычис-
лить, с какой скоростью меняется угол наклона касательной к этой кривой. Пусть кривая задана
параметрически уравнениями
x = x(t), y = y(t).
Тогда тангенс угла α между касательной и осью абсцисс есть отношение ˙y и ˙x и поэтому
α = arctg
˙y
˙x
.
Следовательно, в каждый текущий момент t угол α меняется со скоростью
˙α =
d
dt
arctg
˙y
˙x
=
˙x¨y− ˙y¨x
˙x
2
1 +
˙y
2
˙x
2
=
˙x¨y − ˙y¨x
˙x
2
+ ˙y
2
. (39)
Величину (39 ) можно было бы принять за меру кривизны, однако в геометрии принято соотно-
сить скорость поворота касательной со скоростью роста длины кривой в рассматриваемой точке.
Иначе говоря, делают следующее: в каждой точке рассматривают бесконечно малое прираще-
ние, т.е. дифференциал угла α как функции параметра t:
dα = ˙α dt. (40)
С другой стороны, бесконечно малое приращение длины дуги кривой
3
есть
ds =
p
(dx)
2
+ (dy)
2
=
p
˙x
2
+ ˙y
2
dt. (41)
Определение 8. Отношение
k =
dα
ds
(42)
Называется кривизной кривой в точке x = x(t), y = y(t). Величина
ρ =
1
k
, (43)
обратная к кривизне, называется радиусом кривизны.
Из определений (42) и (43) и равенств (39) и (41) следует, что
k =
˙x¨y − ˙y¨x
( ˙x
2
+ ˙y
2
)
3
2
, (44)
а
ρ =
( ˙x
2
+ ˙y
2
)
3
2
˙x¨y − ˙y¨x
. (45)
Пример 10. У окружности радиуса R кривизна равна
1
R
, а радиус кривизны есть ρ = R.
Замечание 7. В любой неособой точке кривой можно построить окружность, которая «наи-
более близка» к этой кривой в рассматриваемой точке (так же, как касательная — это «наиболее
близкая» прямая). Тогда радиус кривизны является радиусом такой окружности.
Замечание 8. Если кривая имеет вид графика функции y = f (x), то её можно задать пара-
метрически, полагая
x = t, y = f (t).
Тогда
d
n
y
dt
n
=
d
n
y
dx
n
,
dx
dt
= 1,
d
2
x
dt
2
= 0,
d
3
x
dt
3
= 0, . . .
Поэтому векторы скорости и ускорения примут вид
v = (1, f
′
(x)), a = (0, f
′′
(x)), (46)
3
Что такое сама дл ина дуги, мы у знаем позже, когда будем изучать определённый интеграл.
8                                             ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ

Кривизна. Как измерить степень искривлённости плоской линии? Один из способов — вычис-
лить, с какой скоростью меняется угол наклона касательной к этой кривой. Пусть кривая задана
параметрически уравнениями
                                    x = x(t),     y = y(t).
Тогда тангенс угла α между касательной и осью абсцисс есть отношение ẏ и ẋ и поэтому
                                                    ẏ
                                         α = arctg .
                                                    ẋ
Следовательно, в каждый текущий момент t угол α меняется со скоростью
                                                ẋÿ−ẏ ẍ
                                 d       ẏ        2     ẋÿ − ẏ ẍ
                            α̇ =    arctg      = ẋ ẏ2 = 2             .                (39)
                                 dt       ẋ    1 + ẋ2    ẋ + ẏ 2
Величину (39) можно было бы принять за меру кривизны, однако в геометрии принято соотно-
сить скорость поворота касательной со скоростью роста длины кривой в рассматриваемой точке.
Иначе говоря, делают следующее: в каждой точке рассматривают бесконечно малое прираще-
ние, т.е. дифференциал угла α как функции параметра t:
                                                   dα = α̇ dt.                                             (40)
                                                                                   3
С другой стороны, бесконечно малое приращение длины дуги кривой есть
                                 p               p
                             ds = (dx)2 + (dy)2 = ẋ2 + ẏ 2 dt.                                           (41)
    Определение 8. Отношение
                                               dα
                                                    k=                                                     (42)
                                               ds
Называется кривизной кривой в точке x = x(t), y = y(t). Величина
                                                1
                                           ρ= ,                                                            (43)
                                                k
обратная к кривизне, называется радиусом кривизны.
    Из определений (42) и (43) и равенств (39) и (41) следует, что
                                                ẋÿ − ẏ ẍ
                                         k=                  3 ,                                           (44)
                                              (ẋ2 + ẏ 2 ) 2
а                                                                3
                                                  (ẋ2 + ẏ 2 ) 2
                                               ρ=                 .                                        (45)
                                                    ẋÿ − ẏẍ
                                                                      1
    Пример 10. У окружности радиуса R кривизна равна                  R,   а радиус кривизны есть ρ = R.
  Замечание 7. В любой неособой точке кривой можно построить окружность, которая «наи-
более близка» к этой кривой в рассматриваемой точке (так же, как касательная — это «наиболее
близкая» прямая). Тогда радиус кривизны является радиусом такой окружности.

  Замечание 8. Если кривая имеет вид графика функции y = f (x), то её можно задать пара-
метрически, полагая
                                    x = t,    y = f (t).
Тогда
                      dn y   dn y    dx        d2 x       d3 x
                           =      ,      = 1,       =  0,      = 0, . . .
                      dtn    dxn      dt        dt2       dt3
Поэтому векторы скорости и ускорения примут вид
                                     v = (1, f ′ (x)),     a = (0, f ′′ (x)),                              (46)
    3Что такое сама длина дуги, мы узнаем позже, когда будем изучать определённый интеграл.

Страницы