Плоские кривые. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

10 ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ
Эллипс. В случае эллипса рассмотрим полярные координаты с центром в одном из фокусов —
скажем, в левом, т.е. положим
x = −c + r cos ϕ, y = r sin ϕ,
где c =
√
a
2
− b
2
— эксцентриситет. Подставляя эти равенства в каноническое уравнение эллипса
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1, a > b > 0,
мы после несложных вычислений получим
r =
p
1 − e cos ϕ
, (53)
где p =
b
2
a
, e =
c
a
< 1.
Гипербола. Точно такие же вычисления приводят к уравнению гиперболы, е сли поместить
центр полярных координат в правый её фокус:
r =
p
1 − e cos ϕ
. (54)
Здесь также p =
b
2
a
, e =
c
a
> 1.
Итак, справедлива
Теорема 2. Любая невырожденная плоская кривая второго порядка (т.е. парбола, эллипс или
гипербола) описывается уравнением
r =
p
1 − e cos ϕ
, (55)
где
0 6 e
< 1 для эллипса,
= 1 для параболы,
> 1 для гиперболы.
Наша конечная цель — выписать важнейшие характеристики плоских кривых (скорость, уско-
рение, кривизну) в полярных координатах. Для этого нам понадобятся общие факты о преобра-
зовании производных при заменах координат (мы вернёмся к ним при изучении функций многих
переменных).
Преобразование производных при замене координат. Пусть x и y — координаты на плос-
кости.
Определение 9. Невырожденной заменой координат (x, y) → (˜x, ˜y) называется такое их пре-
образование
x = f (˜x, ˜y), y = g(˜x, ˜y), (56)
что определитель
∂
˜
f
∂ ˜x
∂
˜
f
∂ ˜y
∂˜g
∂ ˜x
∂g
∂y
(57)
отличен от нуля. Этот определитель называется якобианом.
Замечание 11. В формуле для якобиана обозначения типа
∂f
∂ ˜x
понимаются как производная
функции f по переменной ˜x при фиксированном значении переменной ˜y. Это — так называемая
частная производная. Аналогично определяется частная производная
∂f
∂ ˜y
функции f по перемен-
ной ˜y. Нам также понадобятся частные производные второго порядка
∂
2
f
∂ ˜x
2
=
∂
∂ ˜x
∂f
∂ ˜x
,
∂
2
f
∂ ˜x∂ ˜y
=
∂
∂ ˜x
∂f
∂ ˜y
,
∂
2
f
∂ ˜y
2
=
∂
∂ ˜y
∂f
∂ ˜y
.
Строгое определение и общая теория частных производных будут рассмотрены позже при изуче-
нии функций многих переменных.
10                                           ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ

Эллипс. В случае эллипса рассмотрим полярные координаты с центром в одном из фокусов —
скажем, в левом, т.е. положим
                            x = −c + r cos ϕ,   y = r sin ϕ,
       √
         2   2
где c = a − b — эксцентриситет. Подставляя эти равенства в каноническое уравнение эллипса
                               x2 y 2
                                  + 2 = 1,                       a > b > 0,
                               a2   b
мы после несложных вычислений получим
                                                        p
                                              r=               ,                                     (53)
                                                   1 − e cos ϕ
          b2        c
где p =   a,   e=   a   < 1.

Гипербола. Точно такие же вычисления приводят к уравнению гиперболы, если поместить
центр полярных координат в правый её фокус:
                                              p
                                     r=              .                          (54)
                                         1 − e cos ϕ
                        b2        c
Здесь также p =         a,   e=   a   > 1.
     Итак, справедлива
  Теорема 2. Любая невырожденная плоская кривая второго порядка (т.е. парбола, эллипс или
гипербола) описывается уравнением
                                              p
                                     r=              ,                                (55)
                                         1 − e cos ϕ
где                                 
                                    < 1 для эллипса,
                                    
                               0 6 e = 1 для параболы,
                                    
                                      > 1 для гиперболы.
                                    

  Наша конечная цель — выписать важнейшие характеристики плоских кривых (скорость, уско-
рение, кривизну) в полярных координатах. Для этого нам понадобятся общие факты о преобра-
зовании производных при заменах координат (мы вернёмся к ним при изучении функций многих
переменных).
Преобразование производных при замене координат. Пусть x и y — координаты на плос-
кости.
  Определение 9. Невырожденной заменой координат (x, y) → (x̃, ỹ) называется такое их пре-
образование
                             x = f (x̃, ỹ), y = g(x̃, ỹ),                            (56)
что определитель
                                                   ∂ f˜   ∂ f˜
                                                   ∂ x̃   ∂ ỹ                                       (57)
                                                   ∂g̃    ∂g
                                                   ∂ x̃   ∂y
отличен от нуля. Этот определитель называется якобианом.
  Замечание 11. В формуле для якобиана обозначения типа ∂f            ∂ x̃ понимаются как производная
функции f по переменной x̃ при фиксированном значении переменной ỹ. Это — так называемая
частная производная. Аналогично определяется частная производная ∂f             ∂ ỹ функции f по перемен-
ной ỹ. Нам также понадобятся частные производные второго порядка
                    ∂2f      ∂  ∂f     ∂2f        ∂  ∂f    ∂2f         ∂  ∂f 
                          =           ,          =           ,        =               .
                    ∂ x̃2   ∂ x̃ ∂ x̃   ∂ x̃∂ ỹ   ∂ x̃ ∂ ỹ   ∂ ỹ 2      ∂ ỹ ∂ ỹ
Строгое определение и общая теория частных производных будут рассмотрены позже при изуче-
нии функций многих переменных.

Страницы