Плоские кривые. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

6 ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ
где n = 0, ±1, ±2, . . .
Обратные гиперболические функции имеют вид
Arsh x = ln(x +
p
x
2
+ 1), ∞ < x < +∞, (29)
Arch x = ±, ln(x +
p
x
2
− 1), 1 6 x, (30)
Arth x =
1
2
ln
1 + x
1 − x
, |x| < 1, (31)
Arcth x =
1
2
ln
x + 1
x − 1
, 1 < |x|. (32)
Введя в рассмотрение комплексные числа, можно установить связь между гиперболическими
и тригонометрическими функциями. Именно, имеют место равенства
sin x = −i sh ix, cos x = ch ix,
tg x = −i th ix, ctg x = i cth ix.
Кроме того, гиперболические функции являются периодическими в комплексном смысле:
sh(x + 2πi) = sh x, ch(x + 2πi) = ch x,
th(x + πi) = th x, cth(x + πi) = cth x.
Заметим, что одна и та же кривая как подмножество точек плоскости может иметь разные
параметризации. Например, уравнения
x = a cos 2t, y = b sin 2t
определяют тот же эллипс, что и в примере 7. В общем виде переход от одной параметризации
к другой выглядит следующим образом. Пусть кривая задана уравнениями (13) и параметр t, в
свою очередь, является функцией некоторой новой переменной τ: t = ϕ(τ ). Тогда уравнения той
же самой кривой в параметризации τ имеют вид
x(τ) = x(ϕ(τ)), y(τ ) = y(ϕ(τ)). (33)
Скорость и ускорение. Параметрическое задание кривой равенствами (13) можно понимать
как уравнения движения точки на плоскости, причём сама кривая — это траектория рассмат-
риваемого движения. Пусть (x
0
, y
0
), где x
0
= x(t
0
) и y
0
= y(t
0
), — точка кривой. Вектор
v = ( ˙x
t
, ˙y
t
) при t = t
0
, (34)
где
˙x
t
=
dx
dt
, ˙y
t
=
dy
dt
,
приложенный к точке (x
0
, y
0
), называется вектором скорости в этой точке. Вектор скорости
лежит на касательной к кривой в рассматриваемой точке. Точка кривой называется неособой
(или точкой общего положения), если
˙x
2
t
+ ˙y
2
t
6= 0,
т.е. если вектор скорости в этой точке отличен от нулевого.
Замечание 5. Если из контекста понятно, по какому параметру дифференцируются коорди-
наты x и y, то мы будем писать ˙x и ˙y вместо ˙x
t
и ˙y
t
.
Аналогично вектор
a = (¨x
t
, ¨y
t
) при t = t
0
, (35)
где
¨x
t
=
d
2
x
dt
2
, ¨y
t
=
d
2
y
dt
2
,
приложенный к точке (x
0
, y
0
), называется вектором ускорения в этой точке.
6                                             ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ

где n = 0, ±1, ±2, . . .
  Обратные гиперболические функции имеют вид
                                     p
                     Arsh x = ln(x + x2 + 1),              ∞ < x < +∞,              (29)
                                       p
                     Arch x = ±, ln(x + x2 − 1),           1 6 x,                   (30)
                              1 1+x
                     Arth x = ln       ,                   |x| < 1,                 (31)
                              2 1−x
                               1 x+1
                     Arcth x = ln        ,                 1 < |x|.                 (32)
                               2 x−1
  Введя в рассмотрение комплексные числа, можно установить связь между гиперболическими
и тригонометрическими функциями. Именно, имеют место равенства
                        sin x = −i sh ix,                                   cos x = ch ix,
                        tg x = −i th ix,                                    ctg x = i cth ix.
Кроме того, гиперболические функции являются периодическими в комплексном смысле:
                   sh(x + 2πi) = sh x,                                  ch(x + 2πi) = ch x,
                   th(x + πi) = th x,                                   cth(x + πi) = cth x.
  Заметим, что одна и та же кривая как подмножество точек плоскости может иметь разные
параметризации. Например, уравнения
                                      x = a cos 2t,             y = b sin 2t
определяют тот же эллипс, что и в примере 7. В общем виде переход от одной параметризации
к другой выглядит следующим образом. Пусть кривая задана уравнениями (13) и параметр t, в
свою очередь, является функцией некоторой новой переменной τ : t = ϕ(τ ). Тогда уравнения той
же самой кривой в параметризации τ имеют вид
                                 x(τ ) = x(ϕ(τ )),              y(τ ) = y(ϕ(τ )).               (33)

Скорость и ускорение. Параметрическое задание кривой равенствами (13) можно понимать
как уравнения движения точки на плоскости, причём сама кривая — это траектория рассмат-
риваемого движения. Пусть (x0 , y0 ), где x0 = x(t0 ) и y0 = y(t0 ), — точка кривой. Вектор
                                        v = (ẋt , ẏt ) при t = t0 ,                           (34)
где
                                          dx           dy
                                            ẋt =
                                             ,   ẏt =    ,
                                          dt           dt
приложенный к точке (x0 , y0 ), называется вектором скорости в этой точке. Вектор скорости
лежит на касательной к кривой в рассматриваемой точке. Точка кривой называется неособой
(или точкой общего положения), если
                                                    ẋ2t + ẏt2 6= 0,
т.е. если вектор скорости в этой точке отличен от нулевого.
  Замечание 5. Если из контекста понятно, по какому параметру дифференцируются коорди-
наты x и y, то мы будем писать ẋ и ẏ вместо ẋt и ẏt .
    Аналогично вектор
                                            a = (ẍt , ÿt ) при t = t0 ,                       (35)
где
                                          d2 x           d2 y
                                        ẍt =  ,  ÿ t =      ,
                                           dt2           dt2
приложенный к точке (x0 , y0 ), называется вектором ускорения в этой точке.

Страницы