Плоские кривые. - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ 3
Рассмотрим матрицу A − λE, λ ∈ R, и её определитель
kA −λEk =
a
11
− λ a
12
a
12
a
22
− λ
= λ
2
− (a
11
+ a
22
)λ + a
11
a
22
− a
2
12
. (7)
Таким образом, рассматриваемый определитель является многочленом второй степени по пере-
менной λ.
Определение 6. Многочлен P (λ) = λ
2
−(a
11
+ a
22
)λ + a
11
a
22
−a
2
12
называется характеристи-
ческим многочленом кривой (4). Числа
tr A = a
11
+ a
22
, ∆
A
, ∆
B
, (8)
где ∆
A
и ∆
B
— определители матриц A и B соответственно, называются инвариантами этой
кривой.
Инварианты почти полностью определяют форму любой кривой второго порядка.
Лемма 1. Пусть P (λ) = λ
2
−(a
11
+a
22
)λ+a
11
a
22
−a
2
12
— характеристический многочлен кривой
второго порядка. Тогда:
1) Его дискриминант неотрицателен.
2) Хотя бы один из его корней отличен от нуля.
Доказательство. 1) Действительно, дискриминант характеристического многочлена равен
D = (a
11
+ a
22
)
2
− 4(a
11
a
22
− a
2
12
) = (a
11
− a
22
)
2
+ 4a
2
12
> 0.
Значит, характеристический многочлен имеет два действительных корня λ
1
и λ
2
.
2) Если оба корня равны нулю, то по теореме Виета
∆
A
= a
11
a
22
− a
2
12
= λ
1
λ
2
= 0
и
tr A = a
11
+ a
22
= λ
1
+ λ
2
= 0,
откуда следует, что все коэффициенты a
ij
равны нулю. Но по определению 4 на противоположной
странице этого не может быть.
Введём также величину
K
A
=
a
11
b
1
b
1
c
+
a
22
b
2
b
2
c
, (9)
называемую полуинвариантом.
Теорема 1. Пусть задана кривая второго порядка, заданная уравнением (4). Тогда:
1) Если ∆
A
> 0, то
а) при tr A · ∆
B
< 0 эта кривая является эллипсом (в частности, при λ
1
= λ
2
этот эллипс
является окружностью);
б) при tr A·∆
B
> 0 эта кривая является пустым множеством (называемым в данном случае
мнимым эллипсом);
в) при ∆
B
= 0 эта кривая состоит из одной точки (называемой в данном случае вырож-
денным эллипсом).
2) Если ∆
A
< 0, то
а) при ∆
B
6= 0 эта кривая является гиперболой;
б) при ∆
B
= 0 эта кривая является является парой пересекающихся прямых.
3) Если ∆
A
= 0, то
а) при ∆
B
6= 0 эта кривая является параболой;
б) при ∆
B
= 0 и K
A
< 0 эта кривая является парой параллельных прямых;
в) при ∆
B
= 0 и K
A
> 0 эта кривая является пустым множеством (называемым в данном
случае парой мнимых прямых);
г) при ∆
B
= 0 и K
A
= 0 эта кривая является парой совпадающих прямых.
                                           ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ                                     3

    Рассмотрим матрицу A − λE, λ ∈ R, и её определитель
                               a11 − λ   a12
                 kA − λEk =                    = λ2 − (a11 + a22 )λ + a11 a22 − a212 .      (7)
                                 a12   a22 − λ
Таким образом, рассматриваемый определитель является многочленом второй степени по пере-
менной λ.
  Определение 6. Многочлен P (λ) = λ2 − (a11 + a22 )λ + a11 a22 − a212 называется характеристи-
ческим многочленом кривой (4). Числа
                                     tr A = a11 + a22 ,   ∆A ,   ∆B ,                       (8)
где ∆A и ∆B — определители матриц A и B соответственно, называются инвариантами этой
кривой.

    Инварианты почти полностью определяют форму любой кривой второго порядка.
  Лемма 1. Пусть P (λ) = λ2 −(a11 +a22 )λ+a11 a22 −a212 — характеристический многочлен кривой
второго порядка. Тогда:
   1) Его дискриминант неотрицателен.
   2) Хотя бы один из его корней отличен от нуля.
Доказательство. 1) Действительно, дискриминант характеристического многочлена равен
                    D = (a11 + a22 )2 − 4(a11 a22 − a212 ) = (a11 − a22 )2 + 4a212 > 0.
Значит, характеристический многочлен имеет два действительных корня λ1 и λ2 .
  2) Если оба корня равны нулю, то по теореме Виета
                                    ∆A = a11 a22 − a212 = λ1 λ2 = 0
и
                                tr A = a11 + a22 = λ1 + λ2 = 0,
откуда следует, что все коэффициенты aij равны нулю. Но по определению 4 на противоположной
странице этого не может быть.                                                             
    Введём также величину
                                              a11 b1   a  b
                                      KA =           + 22 2 ,                               (9)
                                              b1 c     b2 c
называемую полуинвариантом.
    Теорема 1. Пусть задана кривая второго порядка, заданная уравнением (4). Тогда:
     1) Если ∆A > 0, то
        а) при tr A · ∆B < 0 эта кривая является эллипсом (в частности, при λ1 = λ2 этот эллипс
           является окружностью);
        б) при tr A·∆B > 0 эта кривая является пустым множеством (называемым в данном случае
           мнимым эллипсом);
        в) при ∆B = 0 эта кривая состоит из одной точки (называемой в данном случае вырож-
           денным эллипсом).
     2) Если ∆A < 0, то
        а) при ∆B 6= 0 эта кривая является гиперболой;
        б) при ∆B = 0 эта кривая является является парой пересекающихся прямых.
     3) Если ∆A = 0, то
        а) при ∆B 6= 0 эта кривая является параболой;
        б) при ∆B = 0 и KA < 0 эта кривая является парой параллельных прямых;
        в) при ∆B = 0 и KA > 0 эта кривая является пустым множеством (называемым в данном
           случае парой мнимых прямых);
        г) при ∆B = 0 и KA = 0 эта кривая является парой совпадающих прямых.

Страницы