Математическая статистика. Плотникова С.В. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

.474,650/)9,242,30(3)9,248,28(4)9,244,27(3)9,2426(12
)9,246,24(10)9,242,23(9)9,248,21(6)9,244,20(3
)(
)
(
2222
2222
1
2
в
в
=−+−+−+−+
+−+−+−+−=
=
−
=
∑
=
n
xxn
D
k
i
ii
Найдем исправленную выборочную дисперсию по формуле (2.5),
=−=
∗
)1/(
вв
nnDD 50 ⋅ 6,474/49 = 6,606.
Найдем исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение случайной величины Х
57,2606,6
в
≈== Ds .
2.2 Построим доверительный интервал для генеральной средней с уровнем доверительной вероят-
ности γ = 0,95. Так как значение генеральной дисперсии неизвестно, пользуемся формулой (2.10). Най-
дем значение t
1–γ, n–1
= t
0,05;49
по таблице критических точек распределения Стьюдента при уровне веро-
ятности α = 0,05 и числе степеней свободы k = n – 1 = 49. Получаем t
0,05;49
= 2,01. Далее находим точ-
ность оценки
n
st
n 1, −γ
=δ =
50
57,201,2 ⋅
≈ 0,7.
Согласно (2.8), доверительный интервал для генеральной средней имеет вид );(
вв
δ
+
δ
−∈ xxx . Под-
ставляя значения, получаем, что с вероятностью 0,95 выполнено )6,25;2,24(
∈
x .
Построим доверительный интервал для генерального среднеквадратического отклонения с задан-
ным уровнем доверительной вероятности γ = 0,95. Найдем значение
2
1
χ по таблице критических точек
распределения χ
2
при уровне вероятности (1 + γ) / 2 = 0,975 и числе степеней свободы k = n – 1 = 49.
Получаем
2
1
χ = 31,55, следовательно,
1
χ = 5,62. Найдем значение
2
2
χ по таблице критических точек рас-
пределения χ
2
при уровне вероятности (1 – γ) / 2 = 0,025 и числе степеней свободы k = n – 1 = 49. Полу-
чаем
2
2
χ = 70,22, следовательно,
2
χ = 8,38. Согласно (2.11), доверительный интервал для генерального
среднеквадратического отклонения имеет вид )
1
;
1
(
12
χ
−
χ
−
∈σ
nsns
. Подставляя значения, получаем, что
с вероятностью 0,95 выполнено σ
)
62,5
4957,2
;
38,8
4957,2
(∈ или σ )20,3;15,2(
∈
.
3.1 При уровне значимости α = 0,05 проверим утверждение, что среднее значение величины Х со-
ответствует проектному значению a = 25. Так как выборка имеет большой объем (n = 50 > 30), то для
проверки нулевой гипотезы Н
0
: x = а в качестве критерия проверки можно принять случайную величи-
ну U, определенную по формуле (3.1). При этом в качестве генерального среднеквадратического откло-
нения σ можно принять выборочное значение s.
Вычислим наблюдаемое значение критерия
28,0
57,2
50)259,24()(
в
набл
=
−
=
−
=
s
nax
U .
Конкурирующей является гипотеза Н
1
: x ≠ а, поэтому критическую точку U
кр
находим по таблице
функции Лапласа из условия Φ(U
кр
) = = (1 – α) / 2 = 0,475. Получаем U
кр
=1,96. Так как |U
набл
| < U
кр
,
то
нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Следовательно, утверждение, что среднее значение вы-
ходного параметра Х соответствует проектному значению, является статистически обоснованным.
3.2 Для первой выборки объема n
1
= 50 были получены значения
1в
x = 24,9; s
1
= 2,57. Найдем выбо-
рочную среднюю и выборочное среднеквадратическое отклонение для второй выборки объема n
2
= 10
(табл. 6.2). Так как все варианты встречаются в выборке по одному разу, для нахождения выбороч-
ной средней пользуемся формулой (2.1). Получаем
2в
x = (x
1
+ x
2
+ …+ x
n2
) / n
2
= (24,86 + 25,3 + 25,97 +
26,65 + 27,99 + 28,85 + + 28,9 + 29,01 + 29,88 + 31,42) / 10 = 27,883 ≈ 27,9.
Для нахождения выборочной дисперсии пользуемся формулой (2.3). Получаем

Страницы