Лекции по элементам топологии. Подаева Н.Г - 29 стр.

          Пусть К - клеточное разложение Qr . Возьмем клеточное разложение
K ′ многообразия Φ с теми же вершинами и сторонами, что и у разложения
K . Следовательно, число клеток у K ′ на r единиц больше, т.е.
α 0′ = α 0 ; α1′ = α1; α 2′ = α 2 + r .
          Следовательно,                X (Φ ) = X (Qr ) + r ⇒ X (Qr ) = X (Φ ) − r .
          Но Φ гомеоморфно сфере, следовательно, X (Φ) = 2 ⇒ X (Qr ) = 2 − r.
Теорема доказана.
Теорема 3. X (Q p , r ) = 2 − 2 p − 2.                                                (2).
Теорема 4. (критерий гомеомофности двух ориентируемых компактных мно-
гообразий): два ориентируемых компактных многообразия гомеоморфны то-
гда и только тогда, когда они имеют один и тот же род (или одну и ту же эй-
лерову характеристику).
Теорема 5. Два ориентируемых компактных многообразия с краем гомео-
морфны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же род и одно и то
же число контуров ( p = p′, r = r ′ ).

                                               Сферы с пленками.
          В случае неориентируемых многообразий дело обстоит сложнее. Рас-
смотрим, например, лист Мебиуса. Его край гомеоморфен окружности. Сле-
довательно, можно взять сферу Q p +1 (с р+1 дырами) и каждую дыру можно
заклеить листом Мебиуса. Получить компактное неориентируемое многооб-
разие ψ р , причем
  X (ψ p ) = X (Q p +1 ) = 2 − ( p + 1) = 1 − p .
 X (ψ p ) = 1 − p                                         (3).
          Замечание: можно доказать следующие факты:
  1) всякое компактное неориентируемое двумерное многообразие Φ гомео-
      морфно некоторому многообразию ψ р (сфере с (р+1) пленками), где р –
      род многообразия Φ ;
  2) два замкнутых неориентируемых двумерных многообразия Φ и Φ′ го-
      меоморфны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же род
      (одну и ту же эйлерову характеристику);
  3) если взять сферу Q1 с одной дырой (р=0) и заклеить ее листом Мебиуса,
      то получим ψ 0 - сферу с одной пленкой ( X (ψ 0 ) = 1 ); это хорошо знакомая
      проективная плоскость;
  4) нарисовать сферу с пленками трудно: будучи неориентированной, она не
      вкладывается в Е3 .

      Сфера ψ 1 с двумя пленками носит название бутылка Клейна.
      Определение 4. Родом многогранника называется род его поверхности
(границы многогранника).

                                            29