Лекции по элементам топологии. Подаева Н.Г - 4 стр.

                       §1. Топологические пространства


        Напомним, что n-арным отношением, определенным на непустом мно-
жестве Е, называется всякое подмножество           δ ⊂ Еn (En = 1
                                                                E ×4
                                                                   4 × ...
                                                                    E2 4×4 E -
                                                                           3
                                                                        n раз


n-ая декартова степень множества Е).
        Элементы х1 , х 2 ,..., х n ∈ Е находятся в отношении   δ ⊂ Е n , если кор-
теж ( х1 , х 2 ,..., х n ) ∈ δ .

        Если n = 2 , то       δ - бинарное отношение; n = 1 - унарное отношение
(т.е. просто некоторое подмножество множества Е). При этом х из Е находит-
ся в отношении        δ , если х ∈ δ .
        Пусть Х - непустое множество и           Ρ (Χ ) - множество всех его под-
множеств; Τ - унарное отношение, определенное на           Ρ (Χ ) (т.е. Τ - некото-
рое подмножество          Ρ (Χ ) , сл., его элементы – подмножества множества Х).
        Определение 1. Говорят, что на множестве Х определена топологи-
ческая структура (топология), если на множестве              Ρ (Χ ) всех его под-
множеств задано унарное отношение               Τ , удовлетворяющее следующим
трем аксиомам:
I.      Χ, ∅ принадлежат Τ .
II.     Объединение любого конечного либо бесконечного семейства подмно-
        жеств из Τ принадлежит Τ .
III.    Пересечение любого конечного семейства подмножеств из Τ принад-
        лежит Τ .
        Определение 2. Множество Х, на котором определена топологическая
структура Τ , называется топологическим пространством.




                                            4