Лекции по элементам топологии. Подаева Н.Г - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Из определения 2 следует, что топологическое пространство надо рас-
сматривать как пару
()
Τ
Χ
, , где
Τ
- некоторое семейство подмножеств
множества Х, обладающее свойствами I, II, III.
Определение 3. Элементы из Х называются точками, а элементы из
Τ
- открытыми множествами пространства
(
)
Τ
Χ
, .
Примеры топологических пространств.
Пример 1. Пусть - множество вещественных чисел,
- n-ая декартова степень множества (арифметическое
n-мерное пространство). Возьмем n числовых интервалов
R
4434421
разn
n
RRRR ×××= ...
R
()
niQbaIba
iiiii
,1;,;, =∈= .
Определение 4. Открытым координатным параллелепипедом в
n
R
называется множество
()
{
}
nibxaxxxM
i
i
i
n
n
,1;/,...,,
21
=<<=Ω , (1)
или
nn
III ×
×
×=Ω ....
21
.
Определение 5. Множество
n
R
⊂ называется открытым, если
для любой точки М множества F можно указать открытый координатный
параллелепипед, содержащий эту точку и целиком лежащий во множестве
F.
Очевидно, что
n
R
- открытое множество. Условимся считать ∅ открытым.
Легко проверить, что множество
Τ
всех открытых в
n
R
множеств обладает
свойствами I, II, III. Сл.,
Τ
- топология, а
n
R
- топологическое пространство.
Оно называется числовым пространством (при n=1 – числовой прямой), а
Τ
- его естественной топологией.
5
             Из определения 2 следует, что топологическое пространство надо рас-
сматривать как пару                            (Χ ,Τ ) ,   где   Τ - некоторое семейство подмножеств
множества Х, обладающее свойствами I, II, III.
             Определение 3. Элементы из Х называются точками, а элементы из
Τ - открытыми множествами пространства (Χ ,Τ ) .
             Примеры топологических пространств.
             Пример                1.        Пусть         R     -       множество          вещественных    чисел,
Rn = 1
     R ×4
        4 × ...
         R2 4×4 R - n-ая декартова степень множества R (арифметическое
                3
                       n раз


n-мерное                   пространство).                      Возьмем              n   числовых        интервалов

(a , b ) = I ; a , b
     i   i         i           i       i
                                           ∈ Q; i = 1, n .
             Определение 4. Открытым координатным параллелепипедом в R
                                                                                                                 n



называется множество

                       {
             Ω n = M (x 1 , x 2 ,..., x n ) / a i < x i < bi ; i = 1, n ,               }         (1)

или


Ω n = I 1 × I 2 × .... × I n .
             Определение 5. Множество F ⊂ R называется открытым, если
                                                                                n



для любой точки М множества F можно указать открытый координатный
параллелепипед, содержащий эту точку и целиком лежащий во множестве
F.
Очевидно, что R - открытое множество. Условимся считать ∅ открытым.
                                   n



Легко проверить, что множество Τ всех открытых в R множеств обладает
                                                                                              n



свойствами I, II, III. Сл., Τ - топология, а R - топологическое пространство.
                                                                            n



Оно называется числовым пространством (при n=1 – числовой прямой), а
Τ - его естественной топологией.



                                                                     5

Страницы