Лекции по элементам топологии. Подаева Н.Г - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Топологические пространства в примерах 3 и 4 бесполезны, но они по-
казывают, что всякое множество Х можно превратить в топологическое про-
странство.
§2. Окрестность точки, база топологии, замкнутые множе-
ства. Топологические подпространства.
Пусть
(
Τ
)
Χ
, – топологическое пространство.
Определение 1. Окрестностью точки
Х
х
∈
называется любое от-
крытое множество (т.е. принадлежит
x
U
x
U
Τ
), содержащее точку х.
Следствие: подмножество
X
U
⊂
является окрестностью каждой своей
точки тогда и только тогда, когда оно открыто (т.е. ).
Τ
∈U
Определение 2. Семейство
Β
=
{
}
x
Β
открытых подмножеств то-
пологического пространства
(
)
Χ
, называется базой топологии
Τ
, если
для любой точки
Х
х
∈ и любой ее окрестности существует такой эле-
мент
x
U
Β
Β
∈
х
, содержащий точку х, что
xх
U⊂
Β
.
Примеры:
- множество интервалов
(
)
niQbaba
iiiii
,1;,;, =∈=
Ι
обра-
зует базу естественной топологии прямой R;
- множество внутренностей открытых координатных параллелепи-
педов
() ()
{
}
1,0;1,0;/
0
∈∈+==
βαβα
АDАВАММР образует базу ес-
тественной топологии в
n
R
, и т.д.
Замечание 1. Напомним, что два множества
A
и называются равно-
мощными (
B
В
А
∞
), если существует биекция B
A
→:
ϕ
.
Множество
A
называется конечным, если существует
N
n ∈ такое,
что
{}
nkNkkA ≤∧
∈
∞ / .
Множество
A
называется не более чем счетным, если оно конечно
или равномощно множеству N натуральных чисел.
7
       Топологические пространства в примерах 3 и 4 бесполезны, но они по-
казывают, что всякое множество Х можно превратить в топологическое про-
странство.
       §2. Окрестность точки, база топологии, замкнутые множе-
                   ства. Топологические подпространства.
       Пусть   (Χ ,Τ ) – топологическое пространство.
       Определение 1. Окрестностью точки х ∈ Х называется любое от-
крытое множество U x (т.е. U x принадлежит Τ ), содержащее точку х.

Следствие: подмножество U ⊂ X является окрестностью каждой своей
точки тогда и только тогда, когда оно открыто (т.е. U ∈Τ ).
           Определение 2. Семейство        Β = {Β x } открытых подмножеств то-
пологического пространства      (Χ ,Τ ) называется базой топологии Τ , если
для любой точки х ∈ Х и любой ее окрестности U x существует такой эле-

мент   Β х ∈ Β , содержащий точку х, что Β х ⊂ U x .
Примеры:

       -       множество интервалов    Ι i = (a i , bi ); a i , bi ∈ Q; i = 1, n обра-
зует базу естественной топологии прямой R;
       -       множество внутренностей открытых координатных параллелепи-

               {                                               }
педов Р = М / АМ = α АВ + β АD; α ∈ (0,1); β ∈ (0,1) образует базу ес-
           0




тественной топологии в R
                            n
                                , и т.д.
       Замечание 1. Напомним, что два множества A и B называются равно-
мощными ( А∞В ), если           существует биекция ϕ : A → B .
       Множество A называется конечным, если существует n ∈ N такое,
что A∞{k / k ∈ N ∧ k ≤ n}.
       Множество A называется не более чем счетным, если оно конечно
или равномощно множеству N натуральных чисел.

                                            7

Страницы