Лекции по элементам топологии. Подаева Н.Г - 9 стр.

                                     0

       Определение 5. Множество А всех внутренних точек множества А
называется его внутренностью.
       Определение 6. Точка х ∈ Х называется внешней точкой множества
А, если эта точка является внутренней точкой дополнения СА = Х \ А (или
если х имеет окрестность U x такую, что U x I A = ∅ ).

Определение 7. Точка х ∈ Х называется граничной точкой множества А,
если каждая окрестность этой точки имеет непустое пересечение с А и его
дополнением одновременно.
Определение 8. Множество b( A) всех граничных точек множества А на-
зывается его границей.
Замечание 2. Очевидно, что множество А открыто тогда и только тогда, когда
оно совпадает со своей внутренностью:
                0
А ∈Τ ⇔ А = А .
Определение 9. Точка х ∈ Х называется точкой прикосновения множест-
ва А, если любая ее окрестность имеет с множеством А непустое пересече-
ние.
Из определения 9 следует, что любая точка множества А и любая точка его
границы b( A) являются точками прикосновения этого множества.

Определение 10. Множество А всех точек прикосновения множества А
называется замыканием множества А.
Например, замыканием интервала ( a, b) ⊂ R является отрезок [ a, b] . Замы-

канием открытого круга B (O; r ) является замкнутый круг B (O; r ) .
       Замечание 3. Если х не является точкой прикосновения множества А
                                              0
(т.е. х ∈ С А ), то она внешняя к А (т.е. х ∈ СА ), и обратно. Следовательно,
        0
С А = СА , т.е. дополнение к замыканию множества А совпадает с внутрен-
ностью дополнения этого множества.

                                         9