Лекции по элементам топологии. Подаева Н.Г - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Множество
A
называется счетным, если оно равномощно множеству
N натуральных чисел.
Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчет-
ным.
Примеры и контрпримеры: множества
Q
Z
, являются счетными, мно-
жества - несчетными.
CR,
Определение 3. Пространство
(
)
Τ
Χ
, называется пространством
со счетной базой, если топология
Τ
имеет хотя бы одну базу, которая со-
стоит не более чем из счетного множества открытых подмножеств из Х.
Примеры:
- Базой естественной топологии числовой прямой R служит семейст-
во интервалов {
()
niQbaba
iiiii
,1;,;, =∈=
Ι
} с рациональными кон-
цами. Эта база счетна (т.к. множество счетно). Сл., - пространство со
счетной базой.
Q R
- Базой естественной топологии в числовом пространстве
n
R
служит
семейство {
n
III ××
×
....
21
} всевозможных произведений открытых интер-
валов
),1( nk
k
=
Ι
с рациональными концами. Эта база счетна, сл.,
n
R
- про-
странство со счетной базой.
-
n
R
- модель линейного (векторного) пространства
. Его можно
отождествить с аффинным пространством либо евклидовым , для ко-
торых пространство переносов -
V (если зафиксировать некоторую точку).
Сл., пространства и - также пространства со счетной базой.
n
A
n
E
n
A
n
E
В топологическом пространстве
(
)
Τ
Χ
, возьмем какое-
либо множество А.
Определение 4. Точка
А
х
∈
называется внутренней
точкой множества А, если существует окрестность
этой точки, содержащаяся полностью во множестве А.
А
Х
х
8
        Множество A называется счетным, если оно равномощно множеству
N натуральных чисел.
        Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчет-
ным.
        Примеры и контрпримеры: множества Z, Q являются счетными, мно-
жества R, C - несчетными.

        Определение 3. Пространство            (Χ ,Τ )   называется пространством
со счетной базой, если топология Τ имеет хотя бы одну базу, которая со-
стоит не более чем из счетного множества открытых подмножеств из Х.
        Примеры:
        - Базой естественной топологии числовой прямой R служит семейст-

во интервалов { Ι i = (a i , bi ); a i , bi ∈ Q;   i = 1, n } с рациональными кон-
цами. Эта база счетна (т.к. множество Q счетно). Сл., R - пространство со
счетной базой.
        - Базой естественной топологии в числовом пространстве R служит
                                                                            n



семейство { I 1 × I 2 × .... × I n } всевозможных произведений открытых интер-

валов   Ι k (k = 1, n) с рациональными концами. Эта база счетна, сл., R n - про-
странство со счетной базой.
        -   R n - модель линейного (векторного) пространства V . Его можно
отождествить с аффинным пространством An либо евклидовым E n , для ко-

торых пространство переносов - V (если зафиксировать некоторую точку).
Сл., пространства An и E n - также пространства со счетной базой.

        Х
                    В топологическом пространстве           (Χ ,Τ )   возьмем какое-
        х
            А       либо множество А.
                    Определение 4. Точка            х ∈ А называется внутренней
                    точкой множества А, если существует окрестность
                    этой точки, содержащаяся полностью во множестве А.
                                           8

Страницы