Лекции по элементам топологии. Подаева Н.Г - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Определение 11. Множество А называется всюду плотным в топо-
логическом пространстве
(
)
Τ
Χ
, , если его замыкание совпадает с Х, т.е.
Х
А
=
.
Например, замыкание
Q множества рациональных чисел совпадает
с полем . Сл.,
Q всюду плотно на числовой прямой .
Q
R R
Определение 12. Пространство называется сепарабельным, если су-
ществует счетное его подмножество, всюду плотное в нем.
Например, , - сепарабельные пространства.
R
n
R
Определение 13. Множество А в топологическом пространстве
(
Τ
)
Χ
, называется замкнутым, если его дополнение СА открыто.
Теорема. Множество А замкнуто тогда и только тогда, когда А совпада-
ет со своим замыканием (
А
А
=
).
Доказательство.
Пусть А замкнуто, тогда, по определению 13, его дополнение открыто
( ). Следовательно, согласно замечанию 2, дополнение СА совпадает
со своей внутренностью (
Τ
∈СА
0
САСА
=
).
Согласно замечанию 3,
0
СА
А
С
=
. Таким образом,
А
СА = . Сл.,
А
А
= .
Обратно:
Τ
∈⇒
=
⇒
=
⇒= САСАСА
А
С
СА
А
А
0
- открытое, сл.,
согласно определению 13, А замкнуто.
Рассмотрим какое-либо подмножество А в топологическом пространст-
ве
(
Τ
)
Χ
, . Обозначим через
T
множество пересечений элементов из
Τ
с
множеством А.:
{
}
Τ
∈
∩
=
UAUT / .
10
       Определение 11. Множество А называется всюду плотным в топо-
логическом пространстве     (Χ ,Τ ) , если его замыкание совпадает с Х, т.е.
А= Х.
       Например, замыкание Q множества Q рациональных чисел совпадает
с полем R . Сл., Q всюду плотно на числовой прямой R .
       Определение 12. Пространство называется сепарабельным, если су-
ществует счетное его подмножество, всюду плотное в нем.
                 n
Например, R , R - сепарабельные пространства.
       Определение 13. Множество А в топологическом пространстве
(Χ ,Τ ) называется замкнутым, если его дополнение СА открыто.
Теорема. Множество А замкнуто тогда и только тогда, когда А совпада-

ет со своим замыканием ( А = А ).
                                 Доказательство.
       Пусть А замкнуто, тогда, по определению 13, его дополнение открыто
( СА ∈Τ ). Следовательно, согласно замечанию 2, дополнение СА совпадает
                                   0
со своей внутренностью ( СА = СА ).
                                            0
       Согласно замечанию 3, С А = СА . Таким образом, СА = С А . Сл.,

А = А.
                                                   0
       Обратно: А = А ⇒ СА = С А ⇒ СА = СА ⇒ СА ∈Τ - открытое, сл.,
согласно определению 13, А замкнуто.


       Рассмотрим какое-либо подмножество А в топологическом пространст-
ве   (Χ ,Τ ) . Обозначим через   T множество пересечений элементов из Τ с
множеством А.:
                            T = {U ∩ A / U ∈Τ }.


                                       10

Страницы