Лекции по элементам топологии. Подаева Н.Г - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Непрерывность отображений топологических
пространств.
Пусть
()
,
(
Τ
,X
)
Τ
′
′
,X - топологические пространства.
Определение 1. Отображение
X
X
f
′
→: называется непрерывным в
точке
Х
х
∈ , если для любой окрестности
U
′
точки
()
Xxf
′
∈ найдется
окрестность точки
U
Х
х
∈
такая, что
(
)
UUf
′
⊂
. Отображение
X
X
f
′
→
: называется непрерывным на множестве Х, если оно непре-
рывно в каждой точке
Х
х
∈
.
Теорема. Пусть и
()
Τ
,X
(
)
Τ
′
′
,X - топологические пространства. Отобра-
жение
X
X
f
′
→
: непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любо-
го открытого множества из
Х
′
есть любое открытое множество в . Х
Доказательство.
Докажем необходимость условия.
Дано: отображение
X
X
f
′
→: непрерывно;
′
- какое-либо открытое
множество из
Х
′
(т.е.
Τ
′
∈
′
U
);
)(
1
UfU
′
=
−
.
Т.д.:
Τ
∈
U
(т.е.
U
открыто).
Так как
f
- непрерывное отображение, то, по определению, для
′
сущест-
вует окрестность точки
UU
x
⊂
0
Ux
∈
0
такая, что UUf
x
′
⊂)(
0
. Сл.,
(их прообразы связаны этим же соотношением включения). Таким
образом, множество
UU
x
⊂
0
U
вместе с каждой своей точкой содержит и не-Ux ∈
0
12
        § 3. Непрерывность отображений топологических
                                    пространств.




      Пусть   ( X ,Τ ), ( X ′,Τ ′) - топологические пространства.
Определение 1. Отображение     f : X → X ′ называется непрерывным в
точке х ∈ Х , если для любой окрестности U ′ точки f ( x ) ∈ X ′ найдется
окрестность U точки х ∈ Х такая, что f (U ) ⊂ U ′ . Отображение
 f : X → X ′ называется непрерывным на множестве Х, если оно непре-
рывно в каждой точке х ∈ Х .


Теорема. Пусть ( X ,Τ ) и ( X ′,Τ ′) - топологические пространства. Отобра-
жение f : X → X ′ непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любо-
го открытого множества из Х ′ есть любое открытое множество в Х .
                                   Доказательство.
      Докажем необходимость условия.
Дано: отображение f : X → X ′ непрерывно; U ′ - какое-либо открытое
                                                 −1
множество из Х ′ (т.е. U ′ ∈Τ ′ ); U = f (U ′) .
Т.д.: U ∈Τ (т.е. U открыто).
Так как f - непрерывное отображение, то, по определению, для U ′ сущест-
вует окрестность U x ⊂ U точки x0 ∈ U такая, что f (U x ) ⊂ U ′ . Сл.,
                         0                                          0


U x ⊂ U (их прообразы связаны этим же соотношением включения). Таким
  0


образом, множество U вместе с каждой своей точкой x0 ∈ U содержит и не-



                                            12

Страницы