Лекции по элементам топологии. Подаева Н.Г - 13 стр.

которую ее окрестность U x ⊂ U . Следовательно, все точки множества U
                                 0

                       0
внутренние (U = U ) и оно открыто.
     Докажем достаточность условия. Для любой точки x0 ∈ Х рассмот-
рим любую окрестность U ′ точки f ( xo ) ∈ X ′ . Тогда, по определению окре-
                                                                     −1
стности, множество U ′ открыто. Сл., по условию, U = f      (U ′) - также от-
крытое множество. Точка x0 ∈ U (т.к. ее образ f ( xo ) ∈ U ′ ) Сл., U - окре-
стность точки xo .
     Итак, для любой наперед заданной окрестности U ′ точки f ( xo ) на-
шлась окрестность U точки xo такая, что f (U ) ⊂ U ′ ( f (U ) = U ′ ). Сл., f -
непрерывное отображение по определению.

 § 4. Гомеоморфизмы топологических пространств. Предмет топологии.
               Изоморфизмы топологических структур.
      Пусть   ( X ,Τ ) и ( X ′,Τ ′) - топологические пространства.
Определение 1. Отображение f : X → X ′ называется гомеоморфизмом
пространства ( X ,Τ ) на пространство ( X ′,Τ ′) (или топологическим ото-
бражением), если оно взаимно однозначно и взаимно непрерывно (т.е. f -
                  −1
биекция и f , f        - непрерывные отображения).
                           top
      Обозначают:      X ∞ X ′ - пространства X и X ′ гомеоморфны.
     Легко доказать, что отношение гомеоморфности является отношением
эквивалентности. Сл., на множестве М всех топологических пространств оно
осуществляет разбиение на классы эквивалентности. Каждый такой класс
                                                     top
(т.е. каждый элемент фактор-множества M / ∞ ) называется топологиче-
ским типом.
       О двух гомеоморфных пространствах говорят, что они типологически
эквивалентны или принадлежат одному топологическому типу.
       Всякое свойство пространств, инвариантное относительно гомеомор-
физмов, называется топологическим свойством (или топологическим инва-
риантом). Изучение таких свойств является предметом топологии. В 1872 г.
Ф. Клейн («Эрлангенская программа») определил топологию как часть гео-
метрии, изучающую свойства фигур, инвариантные при гомеоморфизмах.

      Пусть   f - гомеоморфизм пространства ( X ,Τ ) на ( X ′,Τ ′) . Следова-
                                                                        −1
тельно, по определению f - биекция, причем f непрерывно на Х и f не-
                                       −1
прерывно на X ′ . Тогда по теореме §3 f (Τ ′) ⊂ Τ ⇒Τ ′ ⊂ f (Τ ) . (1)

                                            13