Лекции по элементам топологии. Подаева Н.Г - 14 стр.

                   −1                                  −1 −1
Отображение f           непрерывно на X ′ . Сл., ( f     ) (Τ ) ⊂ Τ ′ ⇒ f (Τ ) ⊂ Τ ′ .
(2)
      Из (1) и (2) следует, что   f (Τ ) = Τ ′ .
Таким образом, f - биекция множества Х на множество X ′ , которая пере-
водит множество Τ всех открытых в Х множеств во множество Τ ′ всех
открытых в X ′ множеств. Говорят, что гомеоморфизм f : X → X ′ - изо-
морфизм топологической структуры Τ на топологическую структуру Τ ′ .
Пример 1. Пусть на евклидовой плоскости задана полуокружность с концами
А и В и центром О. Обозначим I= Ао Во отрезок, являющийся ортогональной
проекцией диаметра АВ на касательную, параллельную АВ. Пример 2. Ото-
бражение f : (− π2 , π2 ) → R , заданное правилом ∀x ∈ (− π2 , π2 ) f ( x ) = tgx ,
является гомеоморфизмом. Сл., интервал гомеоморфен числовой прямой.
      Сужение этого гомеоморфизма дает нам гомеоморфизмы:
f1 : [0, π2 ) → [0,+∞ ) ,
f 2 : (0, π2 ) → (0,+∞ ) .
Сл., полуинтервал гомеоморфен лучу, а интервал – открытому лучу.
Пример 3. (Контрпример) Рассмотрим отображение f : [0,2π ) → S ⊂ R
                                                                        1    2

      полуинтервала       на        единичную     окружность   по    принципу:
∀t ∈ [0,2π ) f (t ) = (cos t , sin t ). Оно непрерывно, биективно, но обратное




отображение f : S → [0,2π ) терпит разрыв в точке (1,0) (Почему? Пока-
                  −1        1

зать самостоятельно).




                                               14