Лекции по элементам топологии. Подаева Н.Г - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Дискретное пространство с бесконечным числом точек не компактно. (При-
мер открытого покрытия, не обладающего конечным подпокрытием, - по-
крытие одноточечными множествами.)
Числовая прямая не компактна.
R
Определение 7. Множество точек в евклидовом пространстве называ-
ется ограниченным, если существует шар, содержащий это множество.
n
E
Можно доказать: подмножество в евклидовом пространстве ком-
пактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. (Доказать са-
мостоятельно.)
n
E
Примеры:
В евклидовом пространстве открытый шар
3
E ),(
r
a
B
- некомпактное множество (ограничено, но не
замкнуто).
Полупространство вместе со своей границей – некомпактно (замкнуто, но не ограничено).
Замкнутый шар, сфера – компактны.
Определение 8. Топологическое пространство называется связным, если не
существует его разбиения на два открытых множества.
В противном случае топологическое пространство называется несвязным.
X
U V
Из определения 8 следует, что пространство несвязно, если в нем най-
дутся два непустых открытых множества U и V , которые не пересекаются, а
в объединении дают все множество
Х.
Можно сказать, что связное пространство «состоит из одного цельного
куска».
Примеры:
Любое антидискретное пространство связно.
Дискретное пространство, содержащее более одной точки, несвязно. (Почему? Доказать самостоятельно)
Вещественная прямая
связна. R
(
Τ
,
Х
)
(
)
А
А
Τ
,
16
Дискретное пространство с бесконечным числом точек не компактно. (При-
мер открытого покрытия, не обладающего конечным подпокрытием, - по-
крытие одноточечными множествами.)
Числовая прямая R не компактна.
Определение 7. Множество точек в евклидовом пространстве En называ-
ется ограниченным, если существует шар, содержащий это множество.
      Можно доказать: подмножество в евклидовом пространстве En ком-

пактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. (Доказать са-
мостоятельно.)
Примеры:
 В евклидовом пространстве   E3 открытый шар B (a, r )    - некомпактное множество (ограничено, но не
                                             замкнуто).
        Полупространство вместе со своей границей – некомпактно (замкнуто, но не ограничено).
                                Замкнутый шар, сфера – компактны.
Определение 8. Топологическое пространство называется связным, если не
существует его разбиения на два открытых множества.
В противном случае топологическое пространство называется несвязным.
                                    X


               U                                 V




      Из определения 8 следует, что пространство несвязно, если в нем най-
дутся два непустых открытых множества U и V , которые не пересекаются, а
в объединении дают все множество Х.
      Можно сказать, что связное пространство «состоит из одного цельного
куска».
Примеры:
                             Любое антидискретное пространство связно.
 Дискретное пространство, содержащее более одной точки, несвязно. (Почему? Доказать самостоятельно)
                                   Вещественная прямая   R связна.




                                    (   Х ,Τ )
                                                     ( А,Τ А )
                                                 16

Страницы