Лекции по элементам топологии. Подаева Н.Г - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Примеры: 1)
2
Ε
- евклидова плоскость. Определим отображение
+
→× R
22
:
Ε
Ε
ρ
по закону:
()
22
,
Ε
Ε
×
∈
∀ NM
()
()
2
,,,, NMNMqNMNM ===
ρ
. Очевидно, что аксиомы мет-
рики выполняются. Сл.,
2
Ε
- метрическое пространство.
Другими примерами метрических пространств являются эллиптическая
плоскость, пространство Лобачевского, пространство всех действительных
функций, непрерывных на числовом отрезке.
Контрпримером является псевдоевклидово пространство индекса
k.
n
k
E
Пусть
()
ρ
,E - метрическое пространство.
Определение 3. Открытым шаром с центром в точке а и радиусом
0>
r
называется множество
() (){}
rxaxraB
<
∈= ,|,
ρ
Ε
. (1)
Замкнутым шаром называется множество
() (){}
rxaxraB ≤∈= ,|,
ρΕ
. (2)
Замечание. Открытый шар
(
)()
{
}
ε
ε
<
∈
=
xaxaB ,|,
Ε
называют
ьюокрестност−
ε
точки а.
Определение 4. Множество А называется открытым в Е, если
()
AaBAa ⊂∃∈∀
ε
, (т.е. с каждой своей точкой а оно содержит
ьокрестност−
ε
этой точки).
Пусть - множество открытых в Е множеств. Тогда, т. к. объединение
любого числа множеств открытых открыто и пересечение любого конечного
числа открытых множеств открыто, то
Τ
Τ
- топология. Она называется топо-
логией, индуцированной метрикой
+
→
×
R
Ε
Ε
:
.
Итак, всякое метрическое пространство является топологическим с то-
пологией, индуцированной метрикой. Базой ее является семейство
)},({
r
x
B
=Β открытых шаров вместе с пустым множеством.
Определение 5. Расстоянием между точкой
E
x
∈
и множеством
Ε
⊂F на-
зывается нижняя грань расстояний между х и точками множества
Ε
⊂
F
,
т.е.
()
(
)
yxFx
Fy
,,
inf
∈
= .
Определение 6. Диаметром
(
)
Ad множества
E
A
⊂ называется верхняя
грань расстояний между точками
18
Примеры: 1)     Ε 2 - евклидова плоскость. Определим отображение
ρ : Ε 2 × Ε 2 → R+
по                               закону:                          ∀(M , N ) ∈ Ε 2 × Ε 2

                             (        )
                                                     2
ρ (M , N ) = M , N = q M , N = M , N                     . Очевидно, что аксиомы мет-
рики выполняются. Сл., Ε 2 - метрическое пространство.
      Другими примерами метрических пространств являются эллиптическая
плоскость, пространство Лобачевского, пространство всех действительных
функций, непрерывных на числовом отрезке.
                                                                         k
      Контрпримером является псевдоевклидово пространство En индекса
k.
      Пусть   (E , ρ ) - метрическое пространство.
Определение 3. Открытым шаром с центром в точке а и радиусом
r > 0 называется множество
B(a, r ) = {x ∈ Ε | ρ (a, x ) < r}. (1)
Замкнутым шаром называется множество
B(a, r ) = {x ∈ Ε | ρ (a, x ) ≤ r}.  (2)
Замечание.         Открытый      шар   B(a, ε ) = {x ∈ Ε | ρ (a, x ) < ε } называют
ε − окрестностью точки а.
Определение 4. Множество А называется открытым в Е, если
∀a ∈ A ∃B(a, ε ) ⊂ A (т.е. с каждой своей точкой а оно содержит
ε − окрестность этой точки).
        Пусть Τ - множество открытых в Е множеств. Тогда, т. к. объединение
любого числа множеств открытых открыто и пересечение любого конечного
числа открытых множеств открыто, то Τ - топология. Она называется топо-
логией, индуцированной метрикой ρ : Ε × Ε → R+ .
        Итак, всякое метрическое пространство является топологическим с то-
пологией, индуцированной метрикой. Базой ее является семейство
Β = {B ( x, r )} открытых шаров вместе с пустым множеством.
Определение 5. Расстоянием между точкой x ∈ E и множеством F ⊂ Ε на-
зывается нижняя грань расстояний между х и точками множества F ⊂ Ε ,
т.е.
ρ ( x, F ) = inf ρ ( x, y ) .
          y∈F




Определение 6. Диаметром d ( A) множества A ⊂ E называется верхняя
грань расстояний между точками

                                            18

Страницы