Лекции по элементам топологии. Подаева Н.Г - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Определение 4. n – мерным топологческим многообразием называется
связное топологическое пространство (Х,Т) со счетной базой, если существу-
ет накрытие этого пространства координатными окрестностями n – мерных
карт.
n
X
Примеры: числовое пространство
n
R
связно, отделимо, имеет счетную
базу. В качестве карты
ϕ
можно взять тождественное преобразование про-
странства
n
R
(координатная окрестность этой карты – все
n
R
). Следователь-
но,
−
n
R
n – мерное многообразие.
Аналогично:
−
nnn
PEA ,, многообразия n – мерные.
На плоскости рассмотрим окрестность
2
E
γ
радиуса
r
. Выберем пря-
моугольную систему координат
jiO
r
r
с началом в центре О окрестности;
−
NM , точки пересечения с осью . Oy
{
}
MU \
1
γ
=
(окрестность
γ
«проколотая» в точке М);
{
}
NU \
2
γ
.
Отображение OxU →
1
:
ϕ
по
правилу: если , то
1
UA ∈
OxMAAA
I
=
=
0
)(
ϕ
.
OxU →
2
:
ψ
.
−
21
,UU открытые множества на
окрестности
γ
;
ϕ
и
ψ
- гомеоморфизмы открытых множеств и на ось
(гомеоморфно
1
U
2
U
Ox
R
). Следовательно, ),(
1
ϕ
U и
),(
2
ψ
U одномерные карты ок-
рестности
γ
.
На окрестности
U и U покрывают всю окрестность
1 2
γ
)(
21
γ
=
∪UU .
Окружность
−
γ
одномерное многообразие.
Замечание: в пространстве сфера является двумерным многообра-
зием.
3
E
S
Другие примеры: эллипсоид, гиперболоид, параболоид, цилиндр второ-
го порядка.
Обозначим через множество тех точек , у которых
(то есть замкнутое полупространство в
n
R
+
Rxxx
n
∈),...,,(
21
0≥
n
x
R
).
20
Определение 4. n – мерным топологческим многообразием X n называется
связное топологическое пространство (Х,Т) со счетной базой, если существу-
ет накрытие этого пространства координатными окрестностями n – мерных
карт.
       Примеры: числовое пространство R n связно, отделимо, имеет счетную
базу. В качестве карты ϕ можно взять тождественное преобразование про-
странства R n (координатная окрестность этой карты – все R n ). Следователь-
но, R n − n – мерное многообразие.
       Аналогично: An , En , Pn − многообразия n – мерные.
       На плоскости E2 рассмотрим окрестность γ радиуса r . Выберем пря-
                                         rr
моугольную систему координат Oi j с началом в центре О окрестности;
                                            M , N − точки пересечения с осью Oy .
                                                  U1 = γ \ {M }   (окрестность      γ
                                          «проколотая» в точке М);
                                           U 2 = γ \ {N }.
                                                  Отображение      ϕ : U1 → Ox     по
                                          правилу:          если       A ∈ U1 ,    то
                                          ϕ ( A) = A0 = MA I Ox .
                                                           ψ : U 2 → Ox .

                                          U1 ,U 2 − открытые      множества         на
окрестности γ ; ϕ и ψ - гомеоморфизмы открытых множеств U1 и U 2 на ось
Ox (гомеоморфно R ). Следовательно, (U1 ,ϕ ) и (U 2 ,ψ ) − одномерные карты ок-
рестности γ .
        На окрестности U1 и U 2 покрывают всю окрестность γ (U1 ∪U 2 = γ ) .
        Окружность γ − одномерное многообразие.
        Замечание: в пространстве E3 сфера S является двумерным многообра-
зием.
        Другие примеры: эллипсоид, гиперболоид, параболоид, цилиндр второ-
го порядка.
        Обозначим через R+n множество тех точек ( x1 , x 2 ,..., x n ) ∈ R , у которых
x n ≥ 0 (то есть замкнутое полупространство в R ).




                                          20

Страницы