Лекции по элементам топологии. Подаева Н.Г - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Определение 5. n – мерным
многообразием с краем
называется
отделимое пространство (Х,Т) со
счетной базой, если его точки
можно разбить на 2 непустых класса
так, что каждая из точек одного
класса (точки внутренние) имеют
окрестность гомеоморфную
пространству
n
R
, а каждая из точек
другого класса (точки краевые)
имеют окрестность, гомеоморфную , но не имеет окрестности гомеоморф-
ной
n
R
+
n
R
.
Определение 6. Множество всех краевых точек называется краем.
Примеры: 1) отрезок числовой прямой является одномерным многооб-
разием с краем. Край состоит из точек а и b. Замкнутый луч.
[
ba,
]
3
Замечание: можно доказать, что любое связное одномерное многообразие с
краем гомеоморфно либо отрезку, либо лучу замкнутому.
2) Выпуклый многоугольник – двумерное многообразие с краем (край –
граница многоугольника). Замнутая евклидова полуплоскость – неком-
пактное многообразие с краем.
3) Интересным примером дву-
мерного многообразия с краем в
R
является так называемый
лист
Мебиуса. Он выглядит как результат
склеивания концов перекрученной
полоски бумаги. Это простейшая
од-
носторонняя поверхность (начав
красить его с любого места, вы
непременно закрасите его целиком – “со всех сторон”).
В зададим прямоугольную сис-
тему координат
3
E
)( kjiO
r
r
r
и в плоскости
рассмотрим прямоугольник
Oxy
{
}
)0,,( yxMABCD
=
, такой, что
babyax ,,, ≤≤ >0. Каждой точке
отождествляем точку
),( yaM
)y,( aM
−
−
′
, сим-
метричной ей относительно точки О.
Получим фигуру , на которой топология из индуцирует некоторую
топологию
Т .
Φ
3
E
1
Топологическое пространство
),(
1
Т
Φ
называется листом Мебиуса. Лист
Мебиуса – двумерное многообразие с краем. Лист Мебиуса можно получить
21
                                        Определение 5. n – мерным
                                        многообразием с краем называется
                                        отделимое пространство (Х,Т) со
                                        счетной базой, если его точки
                                        можно разбить на 2 непустых класса
                                        так, что каждая из точек одного
                                        класса (точки внутренние) имеют
                                        окрестность         гомеоморфную
                                        пространству R , а каждая из точек
                                                        n


                                        другого класса (точки краевые)
имеют окрестность, гомеоморфную R+ , но не имеет окрестности гомеоморф-
                                     n


ной R n .
      Определение 6. Множество всех краевых точек называется краем.
Примеры: 1) отрезок [a, b] числовой прямой является одномерным многооб-
разием с краем. Край состоит из точек а и b. Замкнутый луч.
Замечание: можно доказать, что любое связное одномерное многообразие с
краем гомеоморфно либо отрезку, либо лучу замкнутому.
  2) Выпуклый многоугольник – двумерное многообразие с краем (край –
     граница многоугольника). Замнутая евклидова полуплоскость – неком-
     пактное многообразие с краем.
                                       3) Интересным примером дву-
                                       мерного многообразия с краем в R 3
                                       является так называемый лист
                                       Мебиуса. Он выглядит как результат
                                       склеивания концов перекрученной
                                       полоски бумаги. Это простейшая од-
                                       носторонняя поверхность (начав
                                       красить его с любого места, вы
     непременно закрасите его целиком – “со всех сторон”).

                                       В E3 зададим прямоугольную сис-
                                                          rr r
                                 тему координат (Oi j k ) и в плоскости
                                 Oxy        рассмотрим          прямоугольник
                                  ABCD = {M ( x, y,0)} ,       такой,     что
                                  x ≤ a, y ≤ b, a, b >0. Каждой точке M (a, y )
                                 отождествляем точку M ′(−a,− y ) , сим-
                                 метричной ей относительно точки О.
  Получим фигуру Φ , на которой топология из E3 индуцирует некоторую
топологию Т1 .
  Топологическое пространство (Φ, Т1 ) называется листом Мебиуса. Лист
Мебиуса – двумерное многообразие с краем. Лист Мебиуса можно получить

                                      21

Страницы