Лекции по элементам топологии. Подаева Н.Г - 19 стр.

d ( A) = sup ρ ( x, y ) .
         x , y∈ A


Определение 7. Множество A ⊂ E называется ограниченным, если его
диаметр конечен.
Замечание. Можно доказать: подмножество евклидова пространства Е ком-
пактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
Например, замкнутый шар B(a, r ) = {x ∈ Ε | ρ (a, x ) ≤ r} и сфера компакт-
ны; открытый шар B(a, r ) = {x ∈ Ε |      ρ (a, x ) < r}- некомпактное множество.

                                     § 7. Многообразия.
                                                                    rr r
Если в аффинном пространстве An задать систему координат (Oe1e2 ...en ) , то
каждая точка x ∈ An имеет координатами n-местный кортеж действительных
чисел ( x1 ,..., x n ) , который является точкой пространства R n :
( x1 , x 2 ,..., x n ) ∈ R n .

                                    Таким образом, задание аффинной системы
                                    координат в пространстве An определяет
                                    отображение f : An → R n . Легко убедиться,
                                    что f взаимно – непрерывно и биективно,
                                    то есть f – гомеоморфизм.
                                           Вывод: систему координат в An (также как и
                                    декартову систему координат в En ) можно
                                    рассматривать как гомеоморфизм топологического
пространства An на числовое пространство R n (с естественной топологией).
Теперь вместо An рассмотрим некоторое топологическое пространство Х во-
обще.
       Пусть (Х,Т) – отделимое топологическое пространство.
Определение 1. n – мерной координатной системой (или n – мерной картой)
называется гомеоморфизм ϕ : U → F некоторого открытого подмножества
U ⊂ X на открытое подмножество F ⊂ R n (или на все R n ).
      Замечание: если X = An , то n – мерная координатная система ϕ − систе-
                 rr r
ма координат (Oe1e2 ...en ) .
Определение 2. Открытое множество U называют координатной окрестно-
стью карты ϕ .
      Если x ∈ U , то ϕ ( x) = ( x1 , x 2 ,..., x n ) ∈ R n .
Определение 3. Вещественные числа x1 ,...x n называют координатами точки Х
в данной карте ϕ .
      Замечание: иногда картой называют пару (U ,ϕ ) .



                                          19