Лекции по элементам топологии. Подаева Н.Г - 17 стр.

Определение 9. Подмножество А топологического пространства ( Х , )      Τ
называется связным, если оно связно в индуцированной топологии как под-
пространство, т.е. если топологическое пространство ( А,Τ А ) связно.
Замечание. Другими словами, множество А в топологическом пространстве
( X ,Τ ) связно, если пространство ( X ,Τ ) нельзя покрыть 2-мя открытыми в
( X ,Τ ) множествами U и V так, чтобы каждое и них пресекалось с А, а пере-
сечение всех трех множеств U,V и А было пусто.
                                             n
П
Пррииммеерры        Пррооссттррааннссттввоо R связно.
           ы:: 11)) П

2)    Следующие множества в R несвязны: - [0,1) U [2,3] . Существует покры-
тие R множествами (− ∞;1,5), (1,4;+∞ ) ;
                         N, Q, любое конечное множество в R несвязны.

3)    Гипербола    γ ⊂ А2 - несвязное множество.
      Можно доказать: подмножество А числовой прямой связно тогда и
только тогда, когда А – открытый, полуоткрытый или замкнутый интервал.
§ 6. Метрические пространства. Метризуемые топологические пространства.


Пусть Е ≠ ∅ - множество, R+ = [0; + ∞ ) - множество неотрицательных ве-
щественных чисел.

      Определение 1. Метрикой на множестве Е называется отображение
ρ : E × E → R+ ,
обладающее следующими свойствами:
1) ρ ( x, y ) = 0 ⇔ x = y;
2) ρ ( x, y ) = ρ ( y, x ) (симметричность функции ρ ;
3) ρ ( x, y ) + ρ ( y , z ) ≥ ρ ( x, z ) (неравенство треугольника).


Определение 2. Пара (E , ρ ) , где Е – непустое множество, ρ - метрика на
нем, называется метрическим пространством.
Элементы множества Е называются точками, неотрицательное вещественное
число ρ ( x, y ) - расстоянием между точками х и у; свойства 1)-3) – аксиомы
метрического пространства.

                                             17