Лекции по элементам топологии. Подаева Н.Г - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

§5. Покрытие и разбиение множеств. Отделимость, компактность, связ-
ность.
Пусть
(
- топологическое пространство.
)
}
Τ
,X
Определение 1. Покрытием множества Х называется такое семейст-
во
{
его подмножеств, что множество Х является объединением этих
подмножеств.
λ
X
Определение 2. Покрытие
{
}
λ
X
топологического пространства
(
)
Τ
,X на-
зывается открытым, если каждое открыто.
λ
X
Определение 3. Подпокрытием покрытия
{
}
λ
X называется такое его под-
семейство, которое само является покрытием.
Определение 4. Покрытие множества Х называется разбиением этого
множества, если элементы покрытия – непустые множества, и любые два
различные элемента покрытия не пересекаются.
Самостоятельно: сформулировать определение пространства, не являюще-
гося отделимым.
Определение 5. Топологическое пространство называется хаусдорфовым
(отделимым), если любые две его различные точки обладают непересекаю-
щимися окрестностями.
Примеры:
Антидискретное пространство (
{
}
∅
=
,X
Τ
), содержащее более одного эле-
мента, неотделимо. (Почему? Показать самостоятельно)
Числовое пространство отделимо.
n
R
Аффинное пространство и проективное отделимы.
n
A
n
P
Дискретное пространство (
)(X
Ρ
Τ
=
) отделимо.
Определение 6. Пространство
(
)
Τ
,X называется компактным, если оно
удовлетворяет сл. аксиоме Бореля-Лебега: каждое открытое покрытие со-
держит конечное подпокрытие.
Из определения 6 следует: для того, чтобы пространство не было ком-
пактным, у него должно существовать открытое покрытие
{
(все
}
λ
X
Τ
λ
X
), заведомо бесконечное, никакая конечная часто которого не является по-
крытием пространства.
Примеры:
Всякое пространство, в котором конечное число открытых множеств, ком-
пактно.
15
§5. Покрытие и разбиение множеств. Отделимость, компактность, связ-
                              ность.
     Пусть   ( X ,Τ ) - топологическое пространство.
Определение 1. Покрытием множества Х называется такое семейст-
во {X λ } его подмножеств, что множество Х является объединением этих
подмножеств.
Определение 2. Покрытие {X λ }топологического пространства ( X ,Τ ) на-
зывается открытым, если каждое X λ открыто.
Определение 3. Подпокрытием покрытия {X λ }называется такое его под-
семейство, которое само является покрытием.
Определение 4. Покрытие множества Х называется разбиением этого
множества, если элементы покрытия – непустые множества, и любые два
различные элемента покрытия не пересекаются.
Самостоятельно: сформулировать определение пространства, не являюще-
гося отделимым.
Определение 5. Топологическое пространство называется хаусдорфовым
(отделимым), если любые две его различные точки обладают непересекаю-
щимися окрестностями.
Примеры:
Антидискретное пространство (Τ = {X , ∅}), содержащее более одного эле-
мента, неотделимо. (Почему? Показать самостоятельно)
                        n
Числовое пространство R отделимо.
Аффинное пространство An и проективное Pn отделимы.
Дискретное пространство (Τ =       Ρ ( X ) ) отделимо.

Определение 6. Пространство ( X ,Τ ) называется компактным, если оно
удовлетворяет сл. аксиоме Бореля-Лебега: каждое открытое покрытие со-
держит конечное подпокрытие.
      Из определения 6 следует: для того, чтобы пространство не было ком-
пактным, у него должно существовать открытое покрытие {X λ }(все X λ ∈Τ

), заведомо бесконечное, никакая конечная часто которого не является по-
крытием пространства.
     Примеры:
Всякое пространство, в котором конечное число открытых множеств, ком-
пактно.



                                          15

Страницы