Лекции по элементам топологии. Подаева Н.Г - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Например, грани простой многогранной поверхности – выпуклые много-
угольники, образуют ее клеточное разложение. Примеры – додекаэдр, икоса-
эдр.
Замечание: Всякое двумерное компактное многообразие (сфера) с краем
можно разложить клетки (их конечное число), причем несколькими способа-
ми.
Пусть компактное либо компактное двумерное многообразие.
−Φ
K
- его
клеточное разложение. Будем называть точку
Φ
∈
x
вершиной разложения
K
,
если она является вершиной хотя бы одной клетки из
K
. Подмножество
Φ⊂
γ
назовем стороной разложения
K
, если оно является стороной хотя бы
одной клетки из
K
.
Обозначим:
−
0
α
число вершин;
−
1
α
число сторон;
−
2
α
число клеток разложения
K
.
Определение 6. Число
210
)(
α
α
α
Φ
X называется эйлеровой характеристи-
кой (или характеристикой Эйлера – Пуанкаре) многообразия .
Φ
Замечание: можно доказать:
1)
эйлерова характеристика не зависит от выбора клеточного разложения
K
;
2) эйлерова характеристика является топологическим инвариантом много-
образия.
Действительно, пусть - гомеоморфизм,
f )(
Φ
Φ
′
f ; переводит клеточ-
ное разложение
f
K
многообразия
Φ
в некоторое клеточное разложение
K
′
многообразия
Φ
′
. При этом
K
′
имеет те же числа ,
0
α
,
1
α
2
α
. Следовательно,
.
)()( Φ=Φ XX
23
  Например, грани простой многогранной поверхности – выпуклые много-
угольники, образуют ее клеточное разложение. Примеры – додекаэдр, икоса-
эдр.
  Замечание: Всякое двумерное компактное многообразие (сфера) с краем
можно разложить клетки (их конечное число), причем несколькими способа-
ми.
  Пусть Φ − компактное либо компактное двумерное многообразие. K - его
клеточное разложение. Будем называть точку x ∈ Φ вершиной разложения K ,
если она является вершиной хотя бы одной клетки из K . Подмножество




γ ⊂ Φ назовем стороной разложения K , если оно является стороной хотя бы
одной клетки из K .
       Обозначим:
  α 0 − число вершин;
  α1 − число сторон;
  α 2 − число клеток разложения K .

Определение 6. Число X (Φ) = α 0 − α1 + α 2 называется эйлеровой характеристи-
кой (или характеристикой Эйлера – Пуанкаре) многообразия Φ .
      Замечание: можно доказать:
  1) эйлерова характеристика не зависит от выбора клеточного разложения
      K;
  2) эйлерова характеристика является топологическим инвариантом много-
     образия.

   Действительно, пусть f - гомеоморфизм, Φ′ = f (Φ) ; f переводит клеточ-
ное разложение K многообразия Φ в некоторое клеточное разложение K ′
многообразия Φ′ . При этом K ′ имеет те же числа α 0 , α1 , α 2 . Следовательно,
X (Φ ) = X (Φ ) .

                                       23

Страницы