Лекции по элементам топологии. Подаева Н.Г - 25 стр.

что клетки Φ1 и Φ 2 одинаково ориентированы. Если же общая сторона по-
лучает одинаковую ориентацию, то клетки противоположно ориентированы.
Определение 4. Многообразие Φ называется ориентируемым, если сущест-
вует его клеточное разложение, в котором клетки можно ориентировать так,
что каждые две клетки, имеющие общую сторону будут одинаково ориенти-
рованы. Если же такого разложения не существует, то многообразие Φ назы-
вается неориентируемым.
                                 Замечание: 1) легко проверить, что
                                 поверхность Φ тетраэдра ориентируема.
                                    2) Свойство     многообразия    быть
                                                        ориентированным
                                       (неориентируемым)         является
                                       топологическим инвариантом.

                                     Действительно         гомеоморфизм
                                  f : Φ → Φ′    (Φ −     ориентированное
                                 многообразие)     переводит    клеточное
                                 разложение K многообразия Φ в неко-
торое клеточное разложение K ′ многообразия Φ′ , причем ориентация любой
клетки сохраняется. Следовательно, каждые две клетки многообразия Φ′ ,
имеющую общую сторону, одинаково ориентированы. Следовательно,
Φ′ − ориентируемо.
  Так как поверхность тетраэдра ориентируема, то ориентируема гомео-
морфная ей сфера, а следовательно, и гомеоморфная сфере поверхность лю-
бого выпуклого многогранника.
  Примером неориентируемого компактного многообразия с краем является




лист Мебиуса. Он может быть получен из прямоугольника ABCD склеивани-
ем по направленным отрезкам BA и DC . Ориентируя клетки ABFE и FCDE ,
начиная со сторон EF получаем, что общая сторона BA = DC получила оди-
наковую ориентацию. Следовательно, лист Мебиуса неориентируем.




                                   25