Лекции по элементам топологии. Подаева Н.Г - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

§ 10. Понятие об условиях гомеоморфизма компактных двумерных мно-
гообразий. Теорема Эйлера для многогранников.
Пусть
),( rOSS
=
- сфера в пространстве . Пересечем ее плоскостью
, расстояние от точки до которой удовлетворяет условию:
3
E
Π h O rh
<
<
0 , и
пусть
F={M
∈
S | M и О лежат по разные стороны от П}.
Фигура есть многообразие с краем. Оно гомеоморфно замкнутому
кругу.
FSQ \
1
=
Определение 1. Многообразие называется сферой с одной дырой.
1
Q
Замечание: 1) гомеоморфно замкнутому кругу, а замкнутый круг гомео-
морфен треугольнику. Следовательно,
1
Q
1)(
1
=
QX .
2)
Аналогично можно получить - сферу с
r
Q
r
дырами. Причем эти дыры таковы, что
никакие две окружности, образующие край
многообразия, не имеют общих точек.
Пусть - сфера с двумя дырами. Ее край со-
стоит из двух окружностей
2
Q
1
γ
и
2
γ
. Ручка F
также является многообразием с краем. Край
также состоит из двух одномерных компактных
многообразий
1
γ
′
и
2
γ
′
гомеоморфных окружностям.
Следовательно, возможны гомеоморфизмы:
222
111
:
:
γγ
γ
γ
′
→
′
→
f
f
Склеим многообразия и F по гомеоморфизмам и так, чтобы внут-
ренние точки ручки были внешними
отношениями шара, граница которого
содержит сферу.
2
Q
1
f
2
f
Полученное многообразие называется
сферой с одной ручкой. Оно гомео-
морфно тору.
Определение 2
. Тором наывается поверх-
ность, образованная вращением некоторой
26
 § 10. Понятие об условиях гомеоморфизма компактных двумерных мно-
            гообразий. Теорема Эйлера для многогранников.

      Пусть S = S (O, r ) - сфера в пространстве E3 . Пересечем ее плоскостью
Π , расстояние h от точки O до которой удовлетворяет условию: 0 < h < r , и
пусть
      F={M∈S | M и О лежат по разные стороны от П}.
Фигура Q1 = S \ F есть многообразие с краем. Оно гомеоморфно замкнутому
кругу.
      Определение 1. Многообразие Q1 называется сферой с одной дырой.
Замечание: 1) Q1 гомеоморфно замкнутому кругу, а замкнутый круг гомео-
                                морфен треугольнику. Следовательно, X (Q1 ) = 1 .
                                  2) Аналогично можно получить Qr - сферу с
                                     r дырами. Причем эти дыры таковы, что
                                     никакие две окружности, образующие край
                                     многообразия, не имеют общих точек.

                                 Пусть Q2 - сфера с двумя дырами. Ее край со-
                                 стоит из двух окружностей γ 1 и γ 2 . Ручка F
                                 также является многообразием с краем. Край
                                 также состоит из двух одномерных компактных
                         многообразий γ 1′ и γ 2′ гомеоморфных окружностям.
                         Следовательно, возможны гомеоморфизмы:
                          f1 : γ 1 → γ 1′
                          f 2 : γ 2 → γ 2′
Склеим многообразия Q2 и F по гомеоморфизмам f1 и f 2 так, чтобы внут-
                                ренние точки ручки были внешними
                                отношениями шара, граница которого
                                содержит сферу.
                                Полученное многообразие называется
                                сферой с одной ручкой. Оно гомео-
                                морфно тору.




                                       Определение 2. Тором наывается поверх-
                                       ность, образованная вращением некоторой

                                             26

Страницы