Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 10 стр.

- структуры строятся с помощью аксиом;
- затем, используя законы логики, строится теория структур данного рода.

§1.2. Интерпретация системы аксиом. Непротиворечивость системы ак-
                               сиом

      Пусть система σ = {δ 1 , δ 2 ,...,δ k } отношений, каждое из которых удов-
летворяет аксиомам системы Σ = {α1 ,...,α t }, определяет математическую
структуру рода Τ .
Определение1. 2.1. Система аксиом Σ = {α 1 ,...,α t } называется:
противоречивой, если не существует базы, допускающей структуру данного
рода;
непротиворечивой содержательно, если существует такая база.
      Таким образом, если найдено множество A , на котором можно при-
дать конкретный смысл δ 1′ , δ 2′ ,...,δ k′ отношениям δ 1 , δ 2 ,...,δ k так, чтобы вы-
полнялись все аксиомы Σ = {α1 ,...,α t } (т.е. на множестве A определена
структура рода Τ ), то говорят, что построена интерпретация системы ак-
сиом Σ = {α1 ,...,α t }, а само множество A называют моделью структуры
рода Τ .
      Чтобы доказать содержательную непротиворечивость системы аксиом
Σ = {α1 ,...,α t }, достаточно построить по крайней мере одну ее интерпрета-
цию (модель соответствующей структуры).
      Пример 1.2.1. Пусть R поле вещественных чисел; 1               R ×44 × ...
                                                                          R2 4×4 R = Rn -
                                                                                 3
                                                                          n раз

n-ая декартова степень поля R . Вводя известным образом операции сложе-
ния элементов из R и умножения их на числа из R :
            (a1 , a2 ,..., an ) + (b1 , b2 ,..., bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 ,..., an + bn ) ,
                   λ ⋅ (a1 , a2 ,..., an ) = (λa1 , λa2 ,..., λan ), ∀λ ∈ R,
легко убедиться, что выполняются все аксиомы векторного пространства над
полем R . Следовательно, R n - модель структуры рода структуры векторно-
го (линейного) пространства.
      Пример 1.2.2. Пусть М – множество всех квадратных матриц 2-го по-
рядка с действительными числами. Вводя известным образом операции сло-
жения матриц и умножения их на числа из R , видим, что М – модель 4-
мерного векторного пространства над полем R .
Определение 1.2.2. Система аксиом называется внутренне непротиворечи-
вой, если из нее нельзя получить логическим путем два утверждения, из ко-
торых одно является отрицанием другого.
      Любое математическое доказательство непротиворечивости является
относительным: оно лишь сводит вопрос о непротиворечивости одной теории
к вопросу о непротиворечивости другой. Так, непротиворечивость геометрии
Лобачевского была установлена в предположении о непротиворечивости

10