Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 11 стр.

геометрии Евклида, а вопрос о непротиворечивости последней был сведен к
проблеме непротиворечивости арифметики.
      Цель всякого доказательства непротиворечивости – свести вопрос о не-
противоречивости данной теории к аналогичному вопросу для такой теории,
непротиворечивость которой представляется более обоснованной. В этой
связи большое значение имеет вторая теорема К. Геделя о неполноте, которая
утверждает, что непротиворечивость аксиоматической теории, содержащей
арифметику, невозможно доказать с помощью средств самой рассматривае-
мой теории * .

                        §1.3. Изоморфизм структур. Автоморфизм

           Пусть Σ = {α 1 ,...,α t } - непротиворечивая (содержательно) система ак-
сиом, т.е. она определяет структуру рода Τ с основными отношениями
δ 1 , δ 2 ,...,δ k .
           Пусть на множестве A′ мы придали конкретный смысл δ 1′ , δ 2′ ,...,δ k′ от-
ношениям δ 1 , δ 2 ,...,δ k , причем все аксиомы Σ = {α 1 ,...,α t } оказались выпол-
ненными для этих понятий δ 1′ , δ 2′ ,...,δ k′ . Таким образом, A′ - модель структу-
ры рода Τ , построенная с помощью понятий δ 1′ , δ 2′ ,...,δ k′ .
           Пусть A′′ - другая модель структуры этого рода, построенная с помо-
щью понятий δ 1′′, δ 2′′,...,δ k′′ .
Определение 1.3.1. Структуры A′ и A′′ называются изоморфными, если су-
ществует взаимно-однозначное отображение f : A′ → A′′ , которое сохраняет
отношения δ 1 , δ 2 ,...,δ k , т.е. если элементы x′, y′,..., z′ ∈ A′ находятся в отно-
шении δ ′j , то их образы x′′, y′′,..., z′′ ∈ A′′ связаны отношением δ ′j′ .
            f : A′ → A′′ - изоморфизм структуры A′ на структуру A′′ .
            Как известно, изоморфизмом является биективный гомоморфизм.
Пример 1.3.1. Рассмотрим две конкретные структуры рода абелевой (комму-
тативной) группы:
( R,+ ) - аддитивная группа вещественных чисел;
( R+ ,•) - мультипликативная группа положительных вещественных чисел.
Зададим              биективное           отображение           f : R+ → R          по правилу:
∀x ∈ R+ f ( x ) = ln x. Это отображение сохраняет главные отношения:
                          f ( x , y ) = ln( xy ) = ln x + ln y = f ( x ) + f ( y ).
Следовательно, группы ( R+ ,•) и ( R,+ ) изоморфны.
Определение 1.3.2. Изоморфизм множества A , на котором определена ма-
тематическая структура, на себя называется автоморфизмом этого множе-
ства.


*
    См. Новиков П.С. Элементы математической логики, 2 изд., М., 1973.

                                                                                            11