Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 13 стр.

, где R - поле вещественных чисел, а V наделено алгебраической структурой
четырехмерного евклидова векторного пространства над полем R.
           Аксиомы 1),2) определяют структуру аффинного 4-мерного простран-
ства А4
           Определение 1.4.2. Псевдоевклидово пространство 1 Е 4 . Аффинное
пространство А4 называется псевдоевклидовым пространством Минковского
1
  Е 4 индекса к = 1 , если его пространство переносов V является псевдоевкли-
довым векторным пространством индекса к = 1 .
           Введем определение псевдоевклидова векторного пространства.
Пусть V - векторное пространство размерности n = 4 над полем R. Зададим
билинейную форму g:V × V → R так, чтобы соответствующая квадратичная
                r    r r
форма q (x ) = g (x , x ) была бы невырожденной (r=4) квадратичной формой ин-
                                                                   r
декса к = 1 (т.е. имела бы нормальный вид q (x ) = x12 + x 22 + x 32 − x 42 ). Число
    r r                                                                   r r
 g (x , y ) ∈ R назовем скалярным произведением векторов х, у и обозначим через
 r r
 х ⋅ у . В нормальном виде
                         r r         r r
                         x ⋅ y = g ( x, y) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 − x4 y4 .
                                                                         r
Число xr = q ( xr ) = xr 2 назовем длиной (нормой) вектора х . В нормальном ви-
де
                                     r
                                    х = x12 + x 22 + x 32 − x 42
          Определение 1.4.3. Векторное пространство V, в котором скалярное
произведение определено при помощи указанной выше билинейной формы g,
называется псевдоевклидовым векторным пространством индекса к = 1 .
          Таким образом, можно дать следующее аксиоматическое определение
пространства 1 Е 4 . Пусть V - 4-мерное векторное пространство над полем R .
              Определение 1.4.4. Множество Е ≠ ∅ называется псевдоевклидовым
    пространством 1 Е 4 , если задано отображение σ : Е × Е → V , удовлетворяю-
    щее следующим трем аксиомам Вейля:
                     r                       r
1) ∀( А ∈ Е )∀(х ∈V )∃!(B ∈ E )|σ ( A, B ) = x . (Эквивалентная аксиома - ∀( А ∈ Е ) ото-
    бражение σ А : Е → V по закону: σ А (В ) = σ ( А, В ) , ∀(В ∈ Е ) , является биекцией).
2) σ ( А, В ) + σ (В , С ) = σ ( А, С ).
3) V - псевдоевклидово векторное пространство индекса к = 1 , то есть на V за-
    дана билинейная форма g:V × V → R , для которой соответствующая квадра-
                             r        r r
    тичная форма q (x ) = g (x , x ) является невырожденной индекса к = 1 (число
       r r r r
    g (x , y ) = x ⋅ y называется скалярным произведением векторов).
          Исходя из этих аксиом, можно доказать, что в псевдоевклидовом про-
странстве         существуют ненулевые векторы, норма которых равна нулю
  r r r
( х ≠ 0, х = 0 ), - изотропные векторы, а также векторы, имеющие мнимую дли-
ну. Расстояние между точками определяется по формуле
                                                 r
                                  ρ ( А, В ) = АВ 2 .
Но так как скалярный квадрат ненулевого вектора в псевдоевклидовом про-
странстве может быть равным нулю, меньшим нуля, то расстояние

                                                                                        13