Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 15 стр.

1) Выбираются основные (первичные) понятия и отношения данной теории,
   которые не определяются.
2) Выделяются некоторые первичные утверждения – аксиомы, устанавли-
   вающие связь между первичными понятиями и отношениями и прини-
   маемые без доказательств.
3) Все новые понятия, вводимые в данной теории, определяются через ранее
   выделенные понятия и отношения; все новые утверждения (теоремы) тео-
   рии доказываются на основе ранее введенных понятий и аксиом (или
   предшествующих теорем). Правила вывода одних истинных предложений
   из других в рамках данной теории не исследуются, а являются предметом
   математической логики.
     Для осуществления аксиоматической теории в конкретном множестве
объектов используется ее интерпретация (или модель), представляющая со-
бой непустое множество, для которого указаны первичные понятия и отно-
шения и выполнены аксиомы этой теории.
   Так, например, в модели векторного пространства роль вектора может иг-
рать матрица, состоящая из вещественных чисел, или упорядоченная систе-
ма вещественных чисел.
     Каждая система аксиом должна удовлетворять общим требованиям –
непротиворечивости, полноты и независимости.
     Требование внутренней непротиворечивости состоит в том, чтобы вы-
воды из данной системы аксиом не приводили к возникновению двух взаим-
но исключающих утверждений P и его отрицания P (иначе теория теряет
всякую ценность для познания того или иного явления реальной действи-
тельности, отраженного в той или иной математической модели).
       Так, теорема Пифагора выводится из системы аксиом евклидовой гео-
метрии и поэтому является утверждением этой геометрии. Ее отрицание, т.е.
утверждение о том, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы
не равен сумме квадратов катетов, не принадлежит к числу утверждений
геометрии Евклида; оно не может быть выведено из системы аксиом Евкли-
да, т.к. эта система непротиворечива.
     Содержательная непротиворечивость системы аксиом обычно уста-
навливается построением модели этой системы.
       Вообще говоря, как показал австрийский математик К. Гедель (1906
г.р.), строгое доказательство непротиворечивости конкретной теории невоз-
можно.
     Требование полноты состоит в том, что добавление к данной системе
аксиом какого-либо не выводимого из нее предложения в качестве новой ак-
сиомы должно обращать систему аксиом в противоречивую (полнота в узком
смысле).
     Полнота в широком смысле трактуется как возможность доказать в
рамках данной теории всякое предложение (или его отрицание), которое мо-
                                                                       15