Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 16 стр.

жет быть сформулировано с помощью этой системы, на языке этой теории.
Иными словами, полнота системы аксиом (в широком смысле) гарантирует
существование ответа на любой вопрос, поставленный в рамках данной тео-
рии. Классический пример – аксиома параллельности Евклида. В свое время
ее пытались доказать (или опровергнуть) в рамках абсолютной геометрии.
Это оказалось невозможным, т.к. система аксиом абсолютной геометрии по
отношению к данному утверждению (пятому постулату Евклида) является
неполной.
       Независимость системы аксиом определяется тем, что ни одна из акси-
ом данной системы не может быть следствием других аксиом этой системы,
т.е. невыводима из других аксиом данной системы.
      Чтобы доказать независимость какой-либо аксиомы от остальных акси-
ом системы, достаточно выбросить ее из списка аксиом, заменить отрицани-
ем и доказать непротиворечивость полученной системы аксиом (т.е. постро-
ить ее модель).
      В качестве примера здесь уместно привести аксиоматические исследо-
вания Н.И. Лобачевского. Он первым в своих работах четко сформулировал и
обосновал, что пятый постулат Евклида не зависит от остальных аксиом гео-
метрии Евклида (т.е. от аксиом абсолютной геометрии). Лобачевский отвер-
гает этот постулат и заменяет его отрицанием – аксиомой Лобачевского. Ис-
пользуя аксиому Лобачевского и все аксиомы Евклида, кроме пятого посту-
лата, Лобачевский развивает свою (гиперболическую) геометрию на плоско-
сти и в пространстве.
      Обратимся к истории возникновения и развития аксиоматического ме-
тода. Аксиоматический метод возник в трудах древнегреческих мыслителей.
Так, известно, что существовали другие цивилизации, которые в своих рабо-
тах не использовали аксиоматический метод. Например, Г.Г.Цейтен пишет о
египетской математике: «…что касается их математических познаний, то они
представляли собой собрание задач с соответствующими их решениями»
/120, с.21-22/. Насчет индусской математики этот же автор отмечает: «Инду-
сы не обнаруживали никаких способностей к теоретической строгости, но за-
то они были совершенно лишены той теоретической щепетильности, которая
привела греческих математиков к пренебрежению реальными числовыми вы-
кладками под тем предлогом, что последние часто дают лишь приближенные
значения. Наоборот, индусы только путем числовых выкладок и их практи-
ческого эмпиризма моли усвоить себе теоремы и методы, теоретического
обоснования которых они, может быть, даже не понимали по-настоящему. Во
всяком случае, они не формулируют словесно этих доказательств; они до-
вольствуются проведением чертежей, на которых основывалось у греков до-
казательство, сопровождая их при этом словом «смотри» /120, 175/.
     Центральным вопросом в истории развития греческой математики яв-
ляются знаменитые «Начала» Евклида, в которых он использовал аксиомати-
ческий метод. Личный вклад Евклида сводился, главным образом, к распо-

16