Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 14 стр.

ρ ( А, В ) может быть не только вещественным, но и мнимым, а также равным
                                 r
нулю при А ≠ В (когда вектор АВ изотропный ).
         Определение 1.4.5. Движением пространства 1 Е 4 ( Е 4 ) называется та-
кое преобразование (биективное отображение пространства на себя), которое
сохраняет расстояние между двумя точками. Множество всех движений про-
странства 1 Е 4 ( Е 4 ) образует группу.
                                                                         r    r
   Определение 1.4.6. Множество точек { М | ρ ( A, M ) = 0} = { M | g ( AM , AM ) = 0}
представляет собой конус второго порядка с вершиной в точке А, который
называется изотропным конусом и играет в СТО роль светового конуса.
   Определение 1.4.7. Фигура Ω = { М | ρ (О, М ) − мнимое} называется внутренней
областью относительно изотропного конуса и играет в СТО роль «активно-
го» будущего и «пассивного» прошлого.
      Таким образом, псевдоевклидова геометрия является геометрией про-
странства-времени в СТО. Геометрией пространства в ОТО является неевк-
лидова геометрия - геометрия римановых пространств (не смешивать с рима-
новой геометрией, изучаемой в разделе «Неевклидовы геометрии»), с осно-
вами которой студенты знакомятся в курсе дифференциальной геометрии.


                   §1.5. Аксиоматический метод в развитии геометрии

     Для современной математики в целом характерен аксиоматический
подход. Особый интерес представляет аксиоматическое построение геомет-
рии. Аксиоматическое изложение «на манер геометрии» (по образному вы-
ражению Б. Спинозы) на протяжении многих веков считается идеалом любой
науки.
     Как же можно охарактеризовать аксиоматический метод? В Большой
Советской Энциклопедии имеется следующее определение:
      «Аксиоматический метод – способ построения научной теории, при ко-
тором в ее основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) – ак-
сиомы или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории
(теоремы) должны выводиться чисто логическим путем, посредством доказа-
тельств. Назначение аксиоматического метода состоит в ограничении произ-
вола при принятии научных суждений в качестве истин данной теории.
      Построение науки на основе аксиоматического метода обычно называ-
ют дедуктивным. Все понятия дедуктивной теории (кроме фиксированного
числа первоначальных) вводятся посредством определений, выражающих
(или разъясняющих) их через ранее введенные понятия». *
      Таким образом, аксиоматическое построение некоторой теории осуще-
ствляется следующим образом.


*
    БСЭ. Изд. 3-е, т.1. М., 1970, с. 345-346.

14