Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Пример 1.3.2.
V
- n- пространство над полем мерное векторное
R
вещест-
венных чисел,
λ
- фиксированное вещественное число. Отображение
V
V
f
→: по закону
aafVa
r
r
λ
=
∈∀ )(
является автоморфизмом Действи-
тельно, оно биективно и сохраняет отношения:
af
.
)()()()()( afaaaa)(
r
r
r
r
r
r
μ
λ
μ
μλ
μ
λ
μ
=
=
=
=
=
;
)( baf
r
r
+ )()()( bfafbaba
r
r
r
r
r
r
+=+=+=
λλλ
.
Автоморфизм
V
V
f
→: называется векторной гомотетией.
§1
поле R и векторное пространство V считаются заранее из-
вестны
оматика представляется искусственной, поскольку включает
разли
атику (геометрию), мож-
но пр
Е
векторное п ство
.4.Структурный подход к обоснованию евклидова пространства
В настоящее время получил широкое распространение используемый в
различных разделах современной математики структурный подход к обосно-
ванию евклидова пространства, связанный с именем Г.Вейля. При этом поня-
тие пространства определятся с помощью наперед заданного поля R и век-
торного ассоциированного пространства V, которые понимаются как фикси-
рованные множества с фиксированными операциями в них. Такой подход
более точно назвать не аксиоматическим, а структурным или конструктив-
ным, поскольку
ми, индивидуально выделенными структурами - своего рода констан-
тами.
Конечно, можно выписать все аксиомы поля R, векторного пространст-
ва V и добавить их к аксиомам Вейля евклидова пространства, получив таким
образом аксиоматическое (без констант) определение евклидова пространст-
ва. Но такая акси
чные по своей природе типы переменных: вещественные числа, векто-
ры, точки и т.п.
Исходя из структурной точки зрения на матем
едложить следующие дефиниции понятий, выделенных в выше приве-
денных вербально-геометрических высказываниях.
Определение 1.4.1. вклидово пространство
Е
4
. Пусть V - 4-мерное
ространство над полем R вещественных чисел. Множе
Е
≠
∅
наз ством
Е
4
, если задано ение
ывается евклидовым простран отображ
Е
Е
V
×→, удовлетворяющее сл ам Вейля: едующим акситрем ом
σ
:
1)
∀∈∀∈∃ ∈
=
()()!()|(,)АЕ хVBEAB .x
r
r
(Эквивалентная аксиома -
∀
∈
()АЕ
ото-
σ
бражение
σ
А
Е V: →
по закону:
σ
σ
А
ВАВ() (,)
=
,
∀
∈
()ВЕ
, является биекцией).
2)
σ
σ
σ
(,) (,) (,).
А
В
В
С
А
С
+=
V - евклидово векторное пространств3) о, то есть на V задана положительно
определенная билинейная форма
g
V
V
R
:
×
→
(число
gxy x y(, )
rr r r
=⋅
называется
скалярным произведением векторов).
Аксиомы 1),2),3) определяют структуру 4-мерного вещественного евк-
лидова пространства
Е
4
. Базой структуры
Е
4
служит тройка множеств Е, V, R
12
Пример 1.3.2. V - n-мерное векторное пространство над полем R вещест-
венных чисел, λ - фиксированное вещественное число. Отображение
                                       r      r
 f : V → V по закону ∀a ∈V f (a ) = λa является автоморфизмом. Действи-
тельно, оно биективно и сохраняет отношения:
                     r         r          r         r        r          r
               f ( μa ) = λ ( μa ) = (λμ )a = ( μλ )a = μ (λa ) = μf (a ) ;
                      r r          r r        r     r      r        r
                  f (a + b ) = λ (a + b ) = λ a + λ b = f (a ) + f (b ) .
Автоморфизм f : V → V называется векторной гомотетией.


     §1.4.Структурный подход к обоснованию евклидова пространства

        В настоящее время получил широкое распространение используемый в
различных разделах современной математики структурный подход к обосно-
ванию евклидова пространства, связанный с именем Г.Вейля. При этом поня-
тие пространства определятся с помощью наперед заданного поля R и век-
торного ассоциированного пространства V, которые понимаются как фикси-
рованные множества с фиксированными операциями в них. Такой подход
более точно назвать не аксиоматическим, а структурным или конструктив-
ным, поскольку поле R и векторное пространство V считаются заранее из-
вестными, индивидуально выделенными структурами - своего рода констан-
тами.
        Конечно, можно выписать все аксиомы поля R, векторного пространст-
ва V и добавить их к аксиомам Вейля евклидова пространства, получив таким
образом аксиоматическое (без констант) определение евклидова пространст-
ва. Но такая аксиоматика представляется искусственной, поскольку включает
различные по своей природе типы переменных: вещественные числа, векто-
ры, точки и т.п.
        Исходя из структурной точки зрения на математику (геометрию), мож-
но предложить следующие дефиниции понятий, выделенных в выше приве-
денных вербально-геометрических высказываниях.
        Определение 1.4.1. Евклидово пространство Е 4 . Пусть V - 4-мерное
векторное пространство над полем R вещественных чисел. Множество Е ≠ ∅
называется евклидовым пространством Е 4 , если задано отображение
σ : Е × Е → V , удовлетворяющее следующим трем аксиомам Вейля:
                  r                          r
1) ∀( А ∈ Е )∀(х ∈V )∃!(B ∈ E )|σ ( A, B ) = x . (Эквивалентная аксиома - ∀( А ∈ Е ) ото-
    бражение σ А : Е → V по закону: σ А (В ) = σ ( А, В ) , ∀(В ∈ Е ) , является биекцией).
2) σ ( А, В ) + σ (В , С ) = σ ( А, С ).
3) V - евклидово векторное пространство, то есть на V задана положительно
                                                                         r r r r
    определенная билинейная форма g:V × V → R (число g (x , y ) = x ⋅ y называется
    скалярным произведением векторов).
         Аксиомы 1),2),3) определяют структуру 4-мерного вещественного евк-
лидова пространства Е 4 . Базой структуры Е 4 служит тройка множеств Е, V, R


12

Страницы