Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 17 стр.

ложению и более точному, чем до него, изложению известного материала, со
строгими логическими требованиями, выработавшимися к его времени у
древнегреческих математиков /120, 80/.
       В течение многих веков аксиоматический метод усовершенствовался.
Немалый вклад в этом направлении был внесен еще мыслителями эллинской
школы – Архимедом Сиракузским /287-212 гг. до н.э./, Эратосфеном Кирен-
ским /276-194 гг. до н.э./, Аполлонием Пергским /265-170 гг. до н.э./. Напри-
мер, очень интересна в этом отношении работа Архимеда «Исчисление пес-
чинок (Псаммит)», в которой решается задача на определение числа песчи-
нок в пространстве вселенной с помощью аксиоматического метода /9, 57/.
       Усовершенствовался аксиоматический метод греческими комментато-
рами Евклида: Героном Александрийским /I столетие до н.э. – I столетие
н.э./, Порфирием Сирийским, Папой Александрийским /оба в III столетии
н.э./, Проклом /V в.н.э./ и др. Комментарии греческих ученых, как известно,
относятся к определениям вводимых понятий, аксиомам, постулатам и пред-
ложениям «Начал» Евклида. Многое в этом направлении сделал самый из-
вестный из всех греческих комментаторов Евклида Прокл.
       Известна большая работа по развитию аксиоматического метода мыс-
лителей средневековья: ал-Джаухари, Сабит ибн Корра, ан-Найрузи, Ибн Си-
на, Ибн ал-Хайсама, ал-Бируни, Омар Хайям, Хусам ад-Дина ас-Салара, Наир
ад-Дин ат-Туси и многих других. Более тридцати работ, содержащих ком-
ментарии к началам Евклида, принадлежат арабским ученым. В основном
учеными средневековья разработаны теории о параллельных прямых, осно-
ванные на идее доказательства пятого постулата Евклида.
       Комментаторы Евклида в эпоху Возрождения и после нее в основном
претендовали на существенное улучшение содержания «Начал»: «Восста-
новленный Евклид» /Борелли, 1658 г./, «Переработанный Евклид» /Маркетти,
1709 г./, «Евклид, освобожденный от всякого пятна» /Саккери, 1733 г./ и др.
       Таким образом, в результате критического отношения к содержанию
«Начал», комментаторы Евклида вскрыли существенные недостатки приме-
нения аксиоматического метода, которые, прежде всего, касались исходных
положений. Несмотря на весьма важные логические выводы теории Евклида,
его «Начала» не являются строгой дедуктивной системой.
       Пятый постулат Евклида с древнейших времен и по настоящее время
не дает покоя людям, увлеченным его доказательством. Попытки доказатель-
ства пятого постулата внесли весомый вклад в развитие аксиоматического
метода. Проблему доказательства пятого постулата в свое время решил Н.И.
Лобачевский, открыв неевклидову геометрию.
       После открытия Н.И.Лобачевским, Я.Бойяи и К.Гауссом новой, неевк-
лидовой, геометрии известный математик Д.Гильберт /XIX - XX вв./ привел
евклидову систему к достаточной для того времени строгости в своем труде
«Основания геометрии» (1899). Однако теорема Геделя о непротиворечиво-
сти и полноте, открытая в начале 30-х годов ХХ века, наложила определен-
ные границы на всеобъемлющую аксиоматизацию.


                                                                           17