Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 9 стр.

     Рассмотрим простейшие структуры алгебраического типа. Всем струк-
турам одного и того же рода дают специальное название: структура группы,
структура n-мерного векторного пространства и др.
     Пример 1.1.1. (структура группы). Система σ = {δ 1 , δ 2 ,...,δ k } отноше-
ний состоит из одного тернарного отношения δ ⊂ G × G × G = G 3 , соответст-
вующего алгебраической операции:
                                             ϕ :G ×G → G
(т.е.      ϕ         можно         рассматривать             как     единственное        отношение
δ = {(a , b, c ) ∈ G | ϕ (a , b) = c}, a , b, c ∈ G ). База состоит из одного множества
                        3


G . Три аксиомы системы аксиом Σ = {α1 , α 2 , α 3 } структуры группы:
α 1 : ∀a , b, c ∈ G : ϕ (ϕ (a , b), c ) = ϕ (a , ϕ (b, c )) - аксиома ассоциативности;
α 2 : ∃e ∈ G ∀a ∈ G ϕ (a, e ) = ϕ (e, a ) = a - существование нейтрального элемен-
та;
α 3 : ∀a ∈ G ∃a′ ∈G ϕ (a, a′) = ϕ (a′, a ) = e - существование симметричного
элемента.
Пример1.1.2. (структура n-мерного векторного пространства над заданным
полем).
База состоит из двух множеств – основного множества V (его элементы -
векторы – основные неопределяемые понятия); вспомогательного множест-
ва K (его элементы условно называются скалярами). Система отношений
σ = {δ 1 , δ 2 ,...,δ k } состоит из двух тернарных отношений:
                                                  r r           r    r               r r
            δ 1 ⊂ K × V × V , δ 1 = {a, x , y | f (a , x ) = y}, a ∈ K , x , y ∈V ;
                                            {(       ) r r r
                                                                    }
                                                                   r r      r      r r r
             δ 2 ⊂ V × V × V = V 3 , δ 2 = a , b , c | ϕ (a , b ) = c , a , b , c ∈ V .
Аксиомы структуры векторного пространства V над полем K :
                          r                    r              r
α1 : ∀λ , μ ∈ K ∀a ∈V f (λ , f ( μ , a ) = f (λμ , a ) ;
                          r                  r                r         r
α 2 : ∀λ , μ ∈ K ∀a ∈V f (λ + μ , a ) = ϕ ( f (λ , a ), f ( μ , a )) ;
        r                r r
α 3 :∀a ∈V f (1, a ) = a ;
         r r                                r r                  r          r
α 4 : ∀ a , b ∈ V , ∀ λ ∈ K f ( λ , ϕ ( a , b )) = ϕ ( f ( λ , a ), f ( λ , b )) ;
       r            r         r r          rr         r
α 5 : ∃0 ∈ V ∀ a ∈ V ϕ ( 0 , a ) = ϕ ( a , 0 ) = a ;
         r                r           r    r              r r      r
α 6 : ∀a ∈ V ∃( − a ) ∈V ϕ ( a , ( − a )) = ϕ (( − a ), a ) = 0 ;
       ( ) ( )
         r r           r r    r r
α 7 : ϕ a , b = ϕ b , a ∀a , b ∈ V ;
       (    ) (                     )
         r      r r             r r r        r r r
α 8 : ϕ a , ϕ ( b , c ) = ϕ ϕ ( a , b ), c ∀ a , b , c ∈ V .
        Таким образом, теория структур рода Т – это множество предложе-
ний (теорем), являющихся логическими следствиями аксиом структуры рода
Τ.
        Предметом математики являются математические структуры. Основ-
ной метод математики – дедуктивный аксиоматический (от общих акси-
ом к частным следствиям из них):
- вводятся неопределяемые, первичные понятия структуры;
- вводятся основные отношения;

                                                                                                9