Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 7 стр.

              Раздел 1: ОБЩИЕ ВОПРОСЫ АКСИОМАТИКИ

                    §1.1. Понятие о математической структуре

        Основным методом в современной математике является аксиоматиче-
ский метод в теоретико-множественном понимании, тесно связанный с поня-
тием математической структуры.
        Пусть А1 , А2 , А3 ,..., Аn - непустые множества. А1 × А2 × А3 × ... × Аn -
прямое (декартово) произведение этих множеств, т.е. множество всех упоря-
доченных n-местных кортежей (a1 ; a2 ;...;an ) , элемент a i которых, стоящий на
i-ом месте, принадлежит множеству Ai , i = 1,2,..., n.
        В теоретико-множественной записи:
                          А1 × А2 × А3 × ... × Аn = {(a1 , a2 ,..., an ) | ai ∈ Ai }.
Определение 1.1.1. Любое подмножество декартова произведения множеств
 А1 × А2 × А3 × ... × Аn называется n-арным (или n-местным) отношением δ ,
определенным во множествах А1 , А2 , А3 ,..., Аn .
        Замечание. Из определения имеем:
1) δ ⊂ А1 × А2 × А3 × ... × Аn .
2) Элементы (a1 ; a2 ;...;an ) ( a i ∈ Ai , i = 1,2,..., n ) находятся в отношении δ , ес-
ли (a1 ; a2 ;...;an ) ∈ δ .
3) Если А1 = А2 = А3 = ... = Аn = A , то А1 × А2 × А3 × ... × Аn = A n - n-ая декар-
това степень множества A .
4) Если δ ⊂ An , то говорят: на множестве A определено n-арное отношение
δ.
5) В случае бинарного отношения δ ⊂ A1 × A2 вместо (a1 ; a2 ) ∈ δ пишут a1δa2
- « a1 находится в отношении δ с a2 ». Например, отношение равенства на
множестве R всех вещественных чисел – бинарное отношение.
6) Пусть на множестве A определена алгебраическая операция (внутренний
закон композиции)
                                              ϕ : A× A → A.
  Ее можно рассматривать как тернарное отношение δ ⊂ A × A × A = A3 , где
                           δ = {( a , b, c ) ∈ A 3 | ϕ ( a , b ) = c}, a , b, c ∈ A .
7) Пусть на множестве A определен внешний закон композиции f с множе-
ством операторов Λ :
                                              f : Λ × A → A.
Его можно рассматривать как тернарное отношение, определенное на множе-
               ствах Λ , A при помощи подмножества δ ⊂ Λ × A × A , т.е.
                   δ = {(λ , a, b) ∈ Λ × A × A | f (λ , a ) = b}, λ ∈ Λ , a, b ∈ A .
        Рассмотрим конечную систему различных непустых множеств
 А1 , А2 , А3 ,..., Аn . Пусть, например, n = 3 .


                                                                                        7