Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 5 стр.

      Мы стремились рассматривать эти вопросы не на объяснительно-
репродуктивном уровне, а на эвристическом, направленном на развитие сту-
дентов. К такому высшему уровню, выполняющему развивающую функцию,
относятся:
◊     вопросы, сталкивающие противоречивые точки зрения в основаниях
математики, отражающие борьбу идей в истории развития математики;
◊     вопросы, сталкивающие неверные обыденные представления студентов
о тех или иных фактах и явлениях с их научным объяснением;
◊     вопросы, сталкивающие различные способы решения тех или иных
проблем в математике;
◊     вопросы, побуждающие к выявлению причинно-следственных связей
фактов, явлений и их свойств;
◊     вопросы, побуждающие к обобщенным умозаключениям, выводам по
изучаемому содержанию.
      Пособие рассчитано на российскую систему профессионального обра-
зования будущих учителей математики, на студентов не ранее чем с третье-
го-четвертого семестров обучения. Оно также может быть полезно аспиран-
там и преподавателям математики в средней школе и университете.
      Структурно материал учебного пособия можно подразделить на де час-
ти. Первая из них (раздел 1) представляет собой деятельное изложение об-
щих вопросов аксиоматики. Вторая (раздел 2) содержит систематическое из-
ложение исторического обзора обоснования евклидовой геометрии со времен
Евклида и до аксиоматики Вейля. Каждая из названных частей достаточно
независима от другой. От читателя требуется знание основ линейной алгебры
и аналитической геометрии.
      В курсе геометрии педвуза в соответствии с учебным пособием
Л.С.Атанасяна, В.Т.Базылева рассматривается изучение высшей геометрии в
схеме Вейля. Система аксиом Вейля, предложенная Г.Вейлем в книге "Про-
странство, время, материя" (1918 ), представляет собой векторный способ
обоснования геометрии. Наиболее сильной стороной аксиоматики Вейля яв-
ляется возможность в значительной мере алгебраизировать доказательства, и
поэтому, по образному выражению Г.Шоке, теория Вейля открывает "цар-
ский путь" в геометрию, который, согласно древнегреческой легенде, не мог
указать царю Птолемею Евклид.
      К другим достоинствам системы аксиом Вейля, определяющей струк-
туру трехмерного и n-мерного пространства Евклида, является возможность
без предварительных выводов развивать геометрию как аналитическую гео-
метрию в векторной форме. По мнению Ж.Дьедонне, "при рассмотрении
векторных пространств размерности 2 и 3 над полем вещественных чисел
сразу же обнаруживается, что линейная алгебра и классическая "элементар-
ная геометрия "отличаются друг от друга только языком: каждую из них
можно понимать как перевод другой" [51].
      По мнению А.Д.Александрова, " ... аксиоматика эта предполагает мно-
го. Она не только использует понятие вещественного числа. Например, в

                                                                        5