Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 8 стр.

           Пусть σ = {δ 1 , δ 2 ,...,δ k } - некоторая система тернарных отношений, оп-
ределенных на множествах А1 , А2 , А3 и обладающих свойствами α1 , α 2 ,...,α t .
То есть δ i - это такое подмножество декартова произведения А1 × А2 × А3 ,
которое обладает всеми свойствами α1 , α 2 ,...,α t одновременно.
           Может быть, что существует не одна, а несколько таких систем отно-
шений σ = {δ 1 , δ 2 ,...,δ k }. Например, ϕ - алгебраическая операция на множе-
стве R действительных чисел: ϕ : R × R → R (т.е. ϕ можно рассматривать
как единственное отношение δ = {(a , b, c ) ∈ R 3 | ϕ (a , b) = c}, a , b, c ∈ R ). Пусть
отношение δ обладает свойством коммутативности
                                  α1 : ϕ (a, b) = ϕ (b, a ) ∀a, b ∈ R .
 Можно указать два знчения отношения δ , обладающего свойством α 1 (т.е.
две коммутативные операции на R ): δ ′ - сложение, δ ′′ - умножение, т.е.
                                    δ ′ = {(a , b, c ) ∈ R 3 | a + b = c},
                                    δ ′′ = {(a , b, c ) ∈ R 3 | a ⋅ b = c}.
           Пусть Τ - непустое множество всех систем σ = {δ 1 , δ 2 ,...,δ k } отноше-
ний, каждое из которых обладает заданными свойствами α 1 , α 2 ,...,α t .
           Определение 1.1.2. Элемент σ ∈ Τ определяет на множествах А1 , А2 , А3
математическую структуру рода Τ .
           Определение 1.1.3. Явно сформулированные свойства α1 , α 2 ,...,α t , оп-
ределяющие множество Τ , называются аксиомами структуры рода Τ .
           Определение 1.1.4. Множества А1 , А2 , А3 называются базой структуры
рода Τ .
           Таким образом, математическая структура рода Т представляет со-
бой одно или несколько множеств А1 , А2 , А3 ,..., Аn (образующих базу струк-
туры), элементы которых произвольной природы (основные, неопределяемые
понятия данной теории) и находятся в некоторых отношениях
δ 1 , δ 2 ,..., δ ђ (называемых основными неопределяемыми отношениями), удов-
летворяющих аксиомам α 1 , α 2 ,...,α t .
      Аксиомы иногда характеризуют не одну с точностью до изоморфизма,
а некоторое множество математических структур. Совокупность всех струк-
тур, определенных данной системой аксиом Σ = {α 1 ,...,α t }, называется родом
Т этих структур.
      Совокупность предложений, которые можно вывести логическим пу-
тем из аксиом структуры, называется теорией структуры рода Т.
      В 30-х годах ХХ в. Н. Бурбаки определил математику как науку о ма-
тематических структурах. Математические структуры подразделены им на
три вида: алгебраические, порядковые и топологические. Евклидово, псевдо-
евклидово, риманово, псевдориманово пространства, пространственно-
временной континуум являются примерами структур топологического типа.


8