Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 21 стр.

пример, наше внимание привлекла такая точка зрения: «Не изгонять из шко-
лы идеи аксиоматического метода…. Десятистраничное «дополнение» к мно-
голетнему курсу геометрии не может … заменить постепенного, хорошо
продуманного воспитания.
       … только отчетливое понимание факта: «наряду с геометрией как
опытной наукой существует еще и абстрактная геометрия» – дает возмож-
ность подлинного … понимания самого замысла геометрии Лобачевского,
т.е. идеи, подлинное знакомство с которой должно быть обеспечено для каж-
дого культурного человека» /12, 26-27/.
       Впервые в истории развития учебника геометрии авторским коллекти-
вом под руководством академика А.Н. Колмогорова в начале 70-х годов был
предложен школьный курс геометрии для учащихся 6-8 классов, построен-
ный на основе аксиоматического метода.
       Основное достоинство аксиоматического метода, главная причина, по
которой он должен рассматриваться в школьном курсе геометрии, состоит,
на наш взгляд, в том, что, следуя ему, человечество сделало революционный
шаг в познании объективной реальности. Во все времена математика занима-
ла видное место среди других наук, изучающих законы природы.
       Идея аксиоматического метода возникла в Древней Греции. Как уже
отмечалось нами выше, блестящим образцом применения аксиоматического
метода вплоть до XIX века служили «Начала» Евклида, созданные в III веке
до н.э. В то время еще не вставал вопрос об описании логических средств, с
помощью которых извлекаются содержательные следствия из аксиом. Тем не
менее, у Евклида достаточно четко проведена идея получения всего основно-
го содержания геометрической теории чисто дедуктивным путем, из некото-
рого числа аксиом, истинность которых представляется наглядно очевидной.
        Внимательное изучение системы Евклида привело ученых к выводу,
что в «Началах» имеются довольно серьезные недоработки. Например, число
аксиом, сформулированных Евклидом, является недостаточным для строгого
изложения геометрии, поэтому Евклид при изложении некоторых своих до-
казательств опирался на непосредственную очевидность, наглядность, ин-
туицию и чувственные восприятия.
       Попытки логически безупречно обосновать геометрию продолжались в
течение многих сотен лет. Открытие в начале XIX века неевклидовой гео-
метрии Н.И. Лобачевским, Я. Бойяи и К. Гауссом явились толчком к даль-
нейшему развитию аксиоматического метода, который привел к попыткам
нового дедуктивного построения геометрии, отвечающего современным тре-
бованиям науки.
       Так, немецкий математик М. Паш предложил аксиомы порядка, свя-
занные с логически необоснованным до тех пор понятием «между». Итальян-
ские математики Дж. Пеано, Дж. Веронезе, М. Пиери также внесли опреде-
ленный вклад в дальнейшее обоснование геометрии – в разработку аксиома-
тики обоснования арифметики. Г. Кантор и Р. Дедекинд исследовали аксио-
мы непрерывности.


                                                                        21