Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 22 стр.

      В связи с этими достижениями перед наукой встала историческая зада-
ча, связанная со строгим обоснованием геометрии на рубеже XIX и ХХ сто-
летий, решение которой было предложено, независимо друг от друга, рядом
ученых. В истории развития аксиоматического метода важную роль сыграли
аксиомы Д. Гильберта, немецкого ученого /1862-1943/, выделявшегося среди
плеяды ученых того периода. Эти аксиомы в свое время соответствовали
уровню строгости геометрии. В 1899 г. Д. Гильберт писал: «Геометрия, так
же как и арифметика, требует для своего построения только немногих про-
стых основных положений. Эти основные положения называются аксиомами
геометрии. Установление аксиом геометрии и исследование их взаимоотно-
шений – это задача, которая со времен Евклида явилась темой многочислен-
ных прекрасных произведений математической литературы. Задача эта сво-
дится к логическому анализу нашего пространственного представления.
      Настоящее исследование представляет собой новую попытку устано-
вить для геометрии полную о возможно более простую систему аксиом и вы-
вести из этих аксиом важнейшие геометрические теоремы …» /45, 55/.
      В своем сочинении /45/ автор исходит из шести основных неопреде-
ляемых понятий, содержание которых раскрывается в системе аксиом, со-
стоящей из пяти групп. Прямое определение основным понятиям геометрии
не дается: точке, прямой, плоскости, а также отношениям: принадлежит, ме-
жду, конгруэнтный. Эти понятия и отношения не связываются ни с какими
представлениями о конкретных предметах, а то, что необходимо знать о них,
излагается в аксиомах, которые являются, таким образом, косвенными их оп-
ределениями. Под точкой, прямой, плоскостью и т.д. можно понимать все,
что угодно, лишь бы они удовлетворяли сформулированным аксиомам. Ис-
ходя из этого, понятие аксиомы в современной математике определяется
иначе. Раньше полагали, что аксиома – это очевидная истина, не требующая
доказательства, или истина, которую невозможно доказать. С точки зрения Д.
Гильберта, аксиомы – это предложения, принимаемые без доказательства с
целью раскрытия содержания основных понятий и построения на их основе
строго дедуктивной науки.
      Немаловажная роль в обосновании геометрии принадлежит и совет-
скому математику В.Ф. Кагану /1869-1953/.
      Аксиоматический метод, впервые разработанный Д. Гильбертом в гео-
метрии с новых позиций, проник и в другие ветви математики: в теорию
множеств, алгебру, топологию, теорию вероятностей и др. Кроме этого, ак-
сиоматический метод стал использоваться и при построении других наук, в
особенности физики. Эти достижения связаны с переворотом в геометрии,
совершенным Н.И. Лобачевским.
      Исторически сложилось, что именно к пятому постулату Евклида на
протяжении многих веков было привлечено внимание математиков. Глубоко
проанализировав попытки доказательства пятого постулата, как свои, так и
принадлежащие другим математикам, Н.И. Лобачевский пришел к убежде-
нию о независимости этого постулата от остальных аксиом, т.е. к непротиво-
речивости геометрии, в которой аксиоматизируется существование двух раз-
22