Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

35
§3. Гладкие поверхности.
Пусть F
0
– элементарная поверхность, заданная параметрическими
уравнениями:
x=x(u,v); y=y(u,v); z=z(u,v),
(1)
где функции в правых частях определены в плоской области G.
Определение 1:
Элементарная поверхность называется гладкой
класса C
k
(k
∈
N), если правые части уравнений (1)
являются функциями, имеющими в области G не-
прерывные частные производные до порядка k
включительно, причем в
∀
точке (u,v)
ранг
2=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ννν
zyx
zyx
uyu
(2)
Определение 2: Простая поверхность F называется гладкой класса
C
k
, если у каждой её внутренней точки M сущест-
вует ε-окрестность B(M, ε), такая, что F∩ B(M, ε)
-
гладкая элементарная поверхность класса C
k
.
Уравнения (1) равносильны векторному уравнению
(
)
vurr ,
r
r
=
,
или
()
(
)
(
)
.,,, kuzjuyiuxr
r
r
r
r
ννν
++=
Отсюда
kzjyixr
uuuu
r
r
r
r
++= ;
.kzjyixr
vvvv
r
r
r
r
++=
Тогда условие (2) геометрически означает, что координаты векторов
vu
rr
rr
,
непропорциональны, т.е. векторы
vu
rr
,
линейно независимы. Следо-
вательно, вектор
[]
0,
r
r
r
r
≠=
vu
rrN в любой точке (u,v)
∈
G.
§4. Кривые на гладкой поверхности. Криволинейные координа-
ты.
Пусть гладкая поверхность F
0
задана параметрическими уравнения-
ми:
x=x(u,v); y=y(u,v); z=z(u,v), (1)
(u,v)
∈G. Если положить v=v
0
=const и менять только u, но так, чтобы
(u,v
0
)
∈
G, то получим векторную функцию одного скалярного аргумента u
(
)
0
,vurr
=
. 
                       §3. Гладкие поверхности.

      Пусть F0 – элементарная поверхность, заданная параметрическими
уравнениями:
                              x=x(u,v); y=y(u,v); z=z(u,v),
                                  (1)
где функции в правых частях определены в плоской области G.

      Определение 1: Элементарная поверхность называется гладкой
                   класса Ck (k ∈ N), если правые части уравнений (1)
                   являются функциями, имеющими в области G не-
                   прерывные частные производные до порядка k
                   включительно, причем в ∀ точке (u,v)
                                       ⎛ xu      yy       zu ⎞
                                  ранг ⎜⎜                    ⎟=2      (2)
                                       ⎝ xν      yν       zν ⎟⎠
      Определение 2: Простая поверхность F называется гладкой класса
                      Ck, если у каждой её внутренней точки M сущест-
                      вует ε-окрестность B(M, ε), такая, что F∩ B(M, ε) -
                      гладкая элементарная поверхность класса Ck.
      Уравнения (1) равносильны векторному уравнению
                                   r r
                                   r = r (u, v ) ,
      или                                            r
                       r          r           r
                       r = x(u,ν )i + y(u,ν ) j + z (u,ν )k .
      Отсюда                                        r
                              r       r      r
                              ru = xu i + yu j + zu k ;
                               r      r      r      r
                              rv = xv i + yv j + zv k .
      Тогда условие (2) геометрически означает, что координаты векторов
r r                                        r r
ru , rv непропорциональны, т.е. векторы ru , rv линейно независимы. Следо-
                   r r r r
вательно, вектор N = [ru , rv ] ≠ 0 в любой точке (u,v) ∈ G.

      §4. Кривые на гладкой поверхности. Криволинейные координа-
                                ты.

      Пусть гладкая поверхность F0 задана параметрическими уравнения-
ми:
                  x=x(u,v); y=y(u,v); z=z(u,v),                   (1)
(u,v) ∈ G. Если положить v=v0=const и менять только u, но так, чтобы
(u,v0)∈G, то получим векторную функцию одного скалярного аргумента u
                                  r r
                                  r = r (u , v0 ) .


                                     35

Страницы