Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

37
§5. Замена параметризации. Якобиан.
Явное уравнение поверхности.
Пусть гладкая поверхность F
0
класса C
k
задана параметрическими
уравнениями:
f: x = x(u,v); y=y(u,v); z=z (u,v), (1)
(u,v)
∈
G
,
которые являются результатом гомеоморфизма f:
G
→F
0
.
Рассмотрим гомеоморфизм h:
G
→
G
′
, который переводит область
G
в
G
′
, точку (u,v)
G
в точку
G
′
∈
),(
β
α
. Следовательно, α, β являются
функциями переменных u,v:
h: α=α(u,v); β=β(u,v). (2)
Так как h – гомеоморфизм, то
∃
обратное отображение, следова-
тельно, уравнения (2) однозначно разрешаются относительно u, v:
1−
h : u=u(α,β); v=v(α,β), (3)
причем функции в правых частях непрерывны в промежутке
G
′
.
Подставляя (3) в (1), получим:
g: x=f
1
(α,β); y=f
2
(α,β); z=f
3
(α,β), (4)
где f
1
(α,β) = x(u(α,β), v(α,β)) и т.д. – сложные функции перемен-
ных
G
′
∈
),(
β
α
.
Формулы (4) задают гомеоморфизм g:
0
FG →
′
, такой, что f=g o h,
следовательно, g=f
o h
-1
(поэтому отображение g- гомеоморфизм)(рис.1).
Рис.1
Определение 1: Функции α(u,v); β(u,v) в уравнениях (2) (то есть
гомеоморфизм h) осуществляют
замену парамет-
ризации (u,v) на (α,β).
Формулы (4) задают поверхность F
0
в новой параметризации.
Определение 2: Определитель I(h)=
ν
ν
β
β
u
u
называется якобианем
отображения h:
G →
G
′
.
g
h
f
),(
ν
u
G
),,(
0
zyx
F
),(
βα
G
′
g
),(
βα
G
′
f
),(
ν
u
G
h
),,(
0
zyx
F
),,(
0
zyx
F
                        §5. Замена параметризации. Якобиан.
                            Явное уравнение поверхности.

     Пусть гладкая поверхность F0 класса Ck задана параметрическими
уравнениями:
                     f: x = x(u,v); y=y(u,v); z=z (u,v),                 (1)
                           (u,v) ∈ G ,
которые являются результатом гомеоморфизма f: G →F0 .
     Рассмотрим гомеоморфизм h: G → G′ , который переводит область
G в G′ , точку (u,v) G в точку (α , β ) ∈ G ′ . Следовательно, α, β являются
функциями переменных u,v:
                             h: α=α(u,v); β=β(u,v).                      (2)

     Так как h – гомеоморфизм, то ∃ обратное отображение, следова-
тельно, уравнения (2) однозначно разрешаются относительно u, v:
                           h −1 : u=u(α,β); v=v(α,β),           (3)
причем функции в правых частях непрерывны в промежутке G′ .
Подставляя (3) в (1), получим:

                        g: x=f1(α,β); y=f2 (α,β); z=f3 (α,β),          (4)
где f1(α,β) = x(u(α,β), v(α,β)) и т.д. – сложные функции перемен-
ных (α , β ) ∈ G ′ .
      Формулы (4) задают гомеоморфизм g: G ′ → F0 , такой, что f=g o h,
следовательно, g=f o h-1 (поэтому отображение g- гомеоморфизм)(рис.1).
                                                            f
               G        f
             ( u ,ν )               F   0
                                                                  h              g
                                  ( x, y,z )
                                                        G              G′              F    0
             h            g                            ( u ,ν )       (α , β )       ( x , y ,z )

                                   F
             G′
             (α , β )
                                       0
                                 ( x, y,z )



                                               Рис.1

      Определение 1: Функции α(u,v); β(u,v) в уравнениях (2) (то есть
                    гомеоморфизм h) осуществляют замену парамет-
                    ризации (u,v) на (α,β).
     Формулы (4) задают поверхность F0 в новой параметризации.

                                           α u αν
     Определение 2: Определитель I(h)=            называется якобианем
                                           β u βν
                         отображения h: G → G′ .

                                               37

Страницы