Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

39
f (x,y) =
2
2
2
2
b
y
a
x
+
имеет непрерывные частные производные
x
adx
df
2
2
=
;
22
2
2
adx
fd
=
;
0
3
3
=
dx
fd
;…
y
bdy
df
2
2
=
;
22
2
2
bdy
fd
=
;
0
3
3
=
dy
fd
;…
любого порядка.
.1,0
;0,1
;,
===
===
==
νν
ν
ν
ν
yy
xux
yu
x
u
uu
I(h)= 01
10
01
≠==
νν
yx
yx
uu
В курсе математического анализа доказана теорема о том, что
уравнение
F (x, y, z) =0 (7)
определяет гладкую поверхность в некоторой окрестности точки
M
0
(x
0
, y
0,
z
0
), если:
1)
в окрестности точки M
0
функция F (x, y, z) и её частные
производные F
x
, F
y
, F
z
непрерывны;
2)
в самой точке M
0
ранг || F
x
,F
y
,F
z
|| =1.
Определение 4:
Уравнение (7) называется неявным уравнением по-
верхности.
Пример 2: Сфера задана уравнением:
x
2
+y
2
+z
2
– a
2
=0; a >0 – радиус сферы.
Легко проверить, что условия 1), 2) выполняются. Следовательно, сфера -
гладкая поверхность класса
∞
С .
Эллипсоид и гиперболоиды также являются гладкими поверхно-
стями:
1
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
- эллипсоид
1
2
2
2
2
2
2
=−+
c
z
b
y
a
x
- однополостный гиперболоид
1
2
2
2
2
2
2
−=−+
c
z
b
y
a
x
- двуполостный гиперболоид 
                   x2 y2
          f (x,y) = 2 + 2 имеет непрерывные частные производные
                   a b
                     df    2    d2 f   2 d3 f
                         = x;        = ;          = 0 ;…
                     dx a 2      dx 2 a 2   dx 3
                      df    2   d2 f   2 d3 f
                          = y;       = ;         = 0 ;…
                      dy b 2    dy 2 b 2 dy 3
     любого порядка.
     x = u, y = ν ;
                                      xu     yu 1 0
     xu = uu = 1, xν = 0;     I(h)=            =    =1≠ 0
                                      xν     yν 0 1
      yu = 0, yν = ν ν = 1.
       В курсе математического анализа доказана теорема о том, что
                  уравнение
                             F (x, y, z) =0                           (7)
     определяет гладкую поверхность в некоторой окрестности точки
      M0 (x0, y0, z0), если:
              1) в окрестности точки M0 функция F (x, y, z) и её частные
                  производные Fx, Fy, Fz непрерывны;
              2) в самой точке M0 ранг || Fx,Fy,Fz|| =1.

     Определение 4: Уравнение (7) называется неявным уравнением по-
                     верхности.

     Пример 2: Сфера задана уравнением:
                   x2 +y2 +z2 – a 2 =0; a >0 – радиус сферы.
Легко проверить, что условия 1), 2) выполняются. Следовательно, сфера -
гладкая поверхность класса С .
                               ∞


         Эллипсоид и гиперболоиды также являются гладкими поверхно-
стями:
                 x y z
                 2     2     2

                    + 2 + 2 =1
                 a b c
                  2               -        эллипсоид


                 x2 y2 z 2
                    + 2 − 2 = 1 - однополостный гиперболоид
                 a b c
                  2




                x2 y2 z 2
                   + 2 − 2 = −1 - двуполостный гиперболоид
                a b c
                 2




                                      39

Страницы