Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

38
Замечание: Можно доказать, что считается допустимой только такая
замена параметризации
h: G →
G
′
, которая является го-
меоморфизмом, выражающимся функциями (2), причем
правые части этих функций имеют в области
G непре-
рывные частные производные до порядка k включитель-
но, и в этой области якобиан I(h)
≠
0.
Замена параметризации (u,v) на (α,β) влечет за собой замену коорди-
натной сети из линий u,v на новую координатную сеть из линий α,β.
Рассмотрим поверхность, заданную уравнениями:
x=u, y=v, z=f(u,v), (5)
которые равносильны уравнению:
z=f (x,y), (6)
где (x,y) ∈G(рис.2).
Рис.2
Согласно замечанию, уравнения (5) (а, следовательно, и (6)), задают
гладкую поверхность класса C
k
⇔
, когда f(u,v) или f (x,y) является функ-
цией, имеющей в области G непрерывные частные производные до поряд-
ка k включительно, причем I(h)
≠
0.
Определение 3: Уравнение (6) называется явным уравнением по-
верхности.
Пример 1:Эллиптический параболоид (z =
2
2
2
2
b
y
a
x
+
) является глад-
кой поверхностью класса
∞
С . Действительно, функция
O
z
ν
=y
y
z=f(u,
ν
)
x
M
G
u=x
F
      Замечание: Можно доказать, что считается допустимой только такая
                 замена параметризации h: G → G′ , которая является го-
                 меоморфизмом, выражающимся функциями (2), причем
                 правые части этих функций имеют в области G непре-
                 рывные частные производные до порядка k включитель-
                 но, и в этой области якобиан I(h) ≠ 0.
    Замена параметризации (u,v) на (α,β) влечет за собой замену коорди-
натной сети из линий u,v на новую координатную сеть из линий α,β.

      Рассмотрим поверхность, заданную уравнениями:
                                  x=u, y=v, z=f(u,v),                 (5)
которые равносильны уравнению:
                                 z=f (x,y),                           (6)
где (x,y) ∈ G(рис.2).
                                         z
                                         ν
                                   z=f(u, )          F
                                                  M



                                                    ν =y          y
                                          O

                                    u=x
                                x
                                                         G

                                      Рис.2


      Согласно замечанию, уравнения (5) (а, следовательно, и (6)), задают
гладкую поверхность класса Ck ⇔ , когда f(u,v) или f (x,y) является функ-
цией, имеющей в области G непрерывные частные производные до поряд-
ка k включительно, причем I(h) ≠ 0.

     Определение 3: Уравнение (6) называется явным уравнением по-
                    верхности.
                                            x2 y2
     Пример 1:Эллиптический параболоид (z = 2 + 2 ) является глад-
                                            a b
             кой поверхностью класса С . Действительно, функция
                                      ∞




                                     38

Страницы