Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

36
Тогда точка M, такая, что
r
M
O
r
r
=
, опишет некоторую гладкую ли-
нию, лежащую на поверхности F
0
. Эту линию называют линией u
(v=const). Вектор
u
r
du
rd
r
r
=
является вектором касательной к линии u в точке
(u,v
0
).
Аналогично через каждую точку M
∈
F
0
проходит гладкая линия
u=const или
линия v. Вектор
v
r
r
является вектором касательной к этой ли-
нии.
Если известна точка (u,v
0
)
∈
G, то по формулам (1) определяются ко-
ординаты x, y, z и, следовательно, точка M (x, y, z)
∈
F
0.
Следовательно, па-
раметры u,v всегда определяют точку на поверхности.
Определение 1: Параметры u,v называют криволинейными коор-
динатами точки M на поверхности F
0
.
Таким образом, гомеоморфизм f :G→F
0
(или регулярная параметри-
зация поверхности F
0
при помощи уравнений (1)) всегда приводит к опре-
делённой системе криволинейных координат u,v на этой поверхности.
Семейство линий u и семейство линий v покрывают поверхность F
0
так, что через
∀точку M∈F
0
проходит единственная линия u (v=v
0
=const)
и единственная линия v (u=u
0
). Касательные векторы
u
r
r
и
v
r
r
к этим линиям
не коллинеарны. Линии u и v образуют на поверхности координатную сеть
(рис.1).
Рис.1
u
M
F
0
r
j
r
i
r
z
y
x
u
r
r
ν
r
r
k
r
                                      r r
          Тогда точка M, такая, что OM = r , опишет некоторую гладкую ли-
нию, лежащую на поверхности F0. Эту линию называют линией u
                   r
                  dr r
(v=const). Вектор    = ru является вектором касательной к линии u в точке
                  du
(u,v0).
     Аналогично через каждую точку M∈ F0 проходит гладкая линия
                               r
u=const или линия v. Вектор rv является вектором касательной к этой ли-
нии.
     Если известна точка (u,v0) ∈ G, то по формулам (1) определяются ко-
ординаты x, y, z и, следовательно, точка M (x, y, z) ∈F0.Следовательно, па-
раметры u,v всегда определяют точку на поверхности.

      Определение 1: Параметры u,v называют криволинейными коор-
                      динатами точки M на поверхности F0.
      Таким образом, гомеоморфизм f :G→F0 (или регулярная параметри-
зация поверхности F0 при помощи уравнений (1)) всегда приводит к опре-
делённой системе криволинейных координат u,v на этой поверхности.
      Семейство линий u и семейство линий v покрывают поверхность F0
так, что через ∀ точку M∈ F0 проходит единственная линия u (v=v0=const)
                                                   r r
и единственная линия v (u=u0). Касательные векторы ru и rv к этим линиям
не коллинеарны. Линии u и v образуют на поверхности координатную сеть
(рис.1).
                                   z
                                                      r         F0
                                                      rν
                                              u            r
                                                           ru
                                                      M

                                              r
                                        r     r
                                        k
                                    r             r
                                    i             j                  y
                                x
                                            Рис.1




                                        36

Страницы