Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

40
2
2
2
2
b
y
a
x
z −=
- парабалоид гиперболический
§6. Касательная плоскость и нормаль.
6.1. Гладкие линии на гладкой поверхности.
Пусть гладкая поверхность F класса C
k
задана в области G⊂ R
2
век-
торным уравнением:
r
r
r
r
= (u,v) (1)
Положим
u=u(t); v=v(t), (2)
где t
R
I
⊂∈ , причем (u(t); v(t))
∈
G
∀
(t
∈
I).
Подставив (2) в (1), получим
r
r
r
r
= (u(t); v(t)) (3)
или
r
r
r
r
=
*
(t) . (4)
Уравнения(2) и (4) определяют гладкую линию γ класса C
k
, лежащую
на поверхности F, если функции u(t); v(t) имеют непрерывные производ-
ные на промежутке I до порядка k включительно и
d
t
d
d
t
du
ν
;
не обращаются
в нуль одновременно.
Обратно: любая гладкая линия класса C
k
, лежащая на поверхности F,
может быть определена уравнением (4).
6.2. Касательная плоскость к поверхности.
Пусть гладкая поверхность F класса C
k
задана уравнением
r
r
r
r
=
(u,v), (1)
ν
rr
u
r
r
,
- векторы, касательные к линиям u и v в точке M
0
;
()
ν
rrM
u
r
r
,,
0
–
плоскость, проходящая через точку M
0
и параллельная
ν
rr
u
r
r
,
.
Теорема 1: Множество касательных в точке M
0
ко всем гладким
линиям поверхности F
0
, проходящим через точку M
0
, об-
разует пучок прямых плоскости
)
ν
rrM
u
r
r
,,
0
с центром в
точке M
0
.
Доказательство: Пусть гладкая линия γ, лежащая на F и проходя-
щая через M
0,
определена уравнениями 
                   x2 y2
                z = 2 − 2 - парабалоид гиперболический
                   a b

                    §6. Касательная плоскость и нормаль.

                 6.1. Гладкие линии на гладкой поверхности.

      Пусть гладкая поверхность F класса Ck задана в области G ⊂ R2 век-
торным уравнением:         r r
                           r = r (u,v)                               (1)
Положим
                          u=u(t); v=v(t),                            (2)
где t∈ I ⊂ R , причем (u(t); v(t))∈ G ∀ (t∈ I).
Подставив (2) в (1), получим
                          r r
                          r = r (u(t); v(t))                         (3)
      или                   r r
                            r = r *(t) .                             (4)

     Уравнения(2) и (4) определяют гладкую линию γ класса Ck, лежащую
на поверхности F, если функции u(t); v(t) имеют непрерывные производ-
                                                       du dν
ные на промежутке I до порядка k включительно и          ;   не обращаются
                                                       dt dt
в нуль одновременно.
      Обратно: любая гладкая линия класса Ck, лежащая на поверхности F,
может быть определена уравнением (4).


                    6.2. Касательная плоскость к поверхности.
                                              k
     Пусть гладкая поверхность F классаr rC задана уравнением
                                       r = r (u,v),                           (1)
     r r                                                              r r
     ru , rν - векторы, касательные к линиям u и v в точке M0; (M 0 , ru , rν ) –
                                                           r r
плоскость, проходящая через точку M0 и параллельная ru , rν .

     Теорема 1: Множество касательных в точке M0 ко всем гладким
              линиям поверхности F0, проходящим через точку M0 , об-
                                                   r r
              разует пучок прямых плоскости (M 0 , ru , rν ) с центром в
              точке M0.

     Доказательство: Пусть гладкая линия γ, лежащая на F и проходя-
 щая через M0, определена уравнениями

                                      40

Страницы