Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

42
Замечание: Векторы
ν
rr
u
r
r
,
образуют базис подпространства
0
M
T
.
При
замене параметризации векторы
βα
rr
rr
,
образуют
новый базис этого подпространства.
6.3. Нормаль к гладкой поверхности.
Определение 1: Нормалью к гладкой поверхности F в точке M
0
на-
зывается прямая, проходящая через точку M
0
пер-
пендикулярно к касательной плоскости
()
ν
rrM
u
r
r
,,
0
.
Рассмотрим вектор
[
]
ν
rrN
u
r
r
r
,= , который перпендикулярен касатель-
ной плоскости. Таким образом, прямая
(
)
NM
r
,
0
является нормалью к по-
верхности F в точке M
0
(рис.1).
Пусть в прямоугольной системе координат
kjiO
r
r
r
пространства Е
3
M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) вектор
N
r
(N
1,
N
2
,N
3
). Тогда уравнение касательной плоскости
),,(
0
ν
rrM
u
r
r
:
(x-x
0
)N
1
+(y-y
0
)N
2
+(z-z
0
)N
3
=0 (1)
Уравнение нормали
(
)
NM
r
,
0
:
3
0
2
0
1
0
N
zz
N
yy
N
xx −
=
−
=
−
(2)
Рис.1
Теорема 2:
Если гладкая поверхность задана в неявном виде
F(x,y,z)=0, то вектор
N
r
(F
x
,F
y
,F
z
) является ненулевым
вектором, перпендикулярным касательной плоскости в
данной точке (то есть направляющим вектором норма-
ли).
r
v
r
r
0
M
u
r
r
                                 r r
     Замечание:      Векторы ru , rν образуют базис подпространства TM .
                                                     r r                0


                   При замене параметризации векторы rα , rβ образуют
                   новый базис этого подпространства.



                     6.3.   Нормаль к гладкой поверхности.

     Определение 1: Нормалью к гладкой поверхности F в точке M0 на-
                   зывается прямая, проходящая через точку M0 пер-
                                                               r r
                   пендикулярно к касательной плоскости (M 0 , ru , rν ) .
                        r r r
     Рассмотрим вектор N = [ru , rν ], который перпендикулярен касатель-
                                              r
ной плоскости. Таким образом, прямая (M 0 , N ) является нормалью к по-
верхности F в точке M0(рис.1).
                                                  rr r
Пусть в прямоугольной системе координат Oi j k пространства Е3
                    r
M0(x0;y0;z0) вектор N (N1,N2,N3). Тогда уравнение касательной плоскости
        r r
( M 0 , ru , rν ) :

                         (x-x r 0)N1+(y-y0)N2+(z-z0)N3=0              (1)
     Уравнение нормали (M 0 , N ):

               r                       x − x0 y − y 0 z − z 0
              N
                                             =       =                 (2)
                                         N1     N2      N3

                       r
                       rv
       r        M0
       ru

                            Рис.1


     Теорема 2: Если гладкая поверхность
                                    r       задана в неявном виде
             F(x,y,z)=0, то вектор N (Fx,Fy,Fz) является ненулевым
             вектором, перпендикулярным касательной плоскости в
             данной точке (то есть направляющим вектором норма-
             ли).


                                       42

Страницы