Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

43
Доказательство:
Поверхность F – гладкая, следовательно, ранг ||F
x
,F
y
,F
z
||=1 в точке M
0
(см.§5), следовательно,
0
r
r
≠
N
.
Пусть γ – произвольная линия на F, проходящая через M
0
и заданная
уравнениями:
x=x(t), y=y(t), z=z(t),
или
F( x(t), y(t), z(t)) =0.
Тогда
F
x
d
t
dx
+ F
y
d
t
dy
+F
z
d
t
dz
=0,
в точке M
0
. Вектор
d
t
rd
d
t
dz
d
t
dy
d
t
dx
a
r
r
=);;(
является вектором касательной к
линии γ в точке M
0
. Следовательно,
0=⋅
d
t
rd
N
r
r
.
Следовательно,
N
r
перпендикулярен касательной к линии γ, то есть любой
прямой касательной плоскости. Следовательно, вектор
N
r
перпендикуля-
рен и самой касательной плоскости. Теорема доказана.
Пример 1: Прямой геликоид (рис.2) задан уравнениями x=ucosv;
y=usinv; z=bv; b>0; (u,v)
∈
R
2
; в точке M
0
написать уравнения
касательной плоскости и нормали.
Рис.2
Решение:
В точке M
0
:
u
r
r
(cos v
0
; sin v
0
; 0);
ν
r
r
(-u
0
sinv
0
; u
0
cosv
0
; b).
Найдем
[]
ν
rrN
u
r
r
r
,= : 
      Доказательство:
                        r r следовательно, ранг ||Fx,Fy,Fz||=1 в точке M0
      Поверхность F – гладкая,
(см.§5), следовательно, N ≠ 0 .
      Пусть γ – произвольная линия на F, проходящая через M0 и заданная
уравнениями:
                             x=x(t), y=y(t), z=z(t),
      или
                               F( x(t), y(t), z(t)) =0.
Тогда
                            dx + F dy +F dz =0,
                              Fx  y       z
                            dt      dt      dt
                                    r
                   r dx dy dz     dr
в точке M0. Вектор a ( ; ; ) =         является вектором касательной к
                      dt dt dt    dt
линии γ в точке M0. Следовательно,
                                    r drr
                                    N⋅    = 0.
               r                       dt
Следовательно, N перпендикулярен касательной к линииrγ, то есть любой
прямой касательной плоскости. Следовательно, вектор N перпендикуля-
рен и самой касательной плоскости. Теорема доказана.

 Пример 1: Прямой геликоид (рис.2) задан уравнениями x=ucosv;
        y=usinv; z=bv; b>0; (u,v)∈R2; в точке M0 написать уравнения
        касательной плоскости и нормали.




                              Рис.2

     Решение:
       В точке M0 :
                r                       r
                ru (cos v0; sin v0; 0); rν (-u0 sinv0; u0 cosv0; b).
            r r r
     Найдем N = [ru , rν ]:


                                       43

Страницы