Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

45
§ 7. Первая квадратичная форма поверхности.
Пусть гладкая поверхность F
0
задана векторным уравнением
(
)
.,
ν
urr
r
r
=
(1)
В произвольной точке M
∈
F
0
имеем:
,
ν
drdurrd
vu
r
r
r
+
=
то есть в базисе
vu
rr
r
r
, касательного векторного подпространства T
M
век-
тор
r
d
r
определяется координатами:
(
)
ν
ddurd ,
r
.
Найдем скалярный квадрат:
()
(
)
(
)
222
2
2
2
ν
νν
rddudrrdurrd
vu
u
r
r
r
r
r
++= .
Введем обозначения:
2
222112
2
11
;;
νν
γγγγ
rrrr
uu
r
r
r
r
==== (2)
Получим:
()
(
)
(
)
2
2212
2
11
2
2
νγνγγ
dduddurd ++=
r
(3)
Очевидно, что правая часть равенства (3) является квадратичной
формой
()
rdq
r
, заданной на векторном подпространстве. Причем, если
0≠
r
d
r
, то
()
0
2
>rd
r
. Следовательно, на T
M
задана положительная опреде-
ленная билинейная форма (скалярное произведение). То есть T
M
– евкли-
дово
векторное подпространство.
Определение1: Квадратичная форма
(
)
rdq
r
=
()
(
)
2
2212
2
11
2
νγνγγ
dduddu ++ называется первой
квадратичной формой поверхности F
0
(или её линей-
ным элементом)
.
Пусть на поверхности F
0
гладкая кривая
γ
задана уравнениями:
(
)
(
)
ttuu
ν
ν
=
=
; , (4)
где t
∈I, (u, v)∈G. В пространстве линия
γ
задается уравнением:
(
)
(
)
(
)
., tturr
ν
r
r
=
Дифференцируя по t, получаем:
d
d
r
d
du
r
d
rd
u
ν
ν
rr
r
+= . (5)
Пусть s – длина дуги линии
γ
. Тогда
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==
dt
rd
dt
rd
dt
ds
r
r
,
(см. формулу (6), §4, раздел II). Из формулы (3) имеем: 
               § 7. Первая квадратичная форма поверхности.

     Пусть гладкая поверхность F0 задана векторным уравнением
                                        r r
                                        r = r (u ,ν ).                             (1)
     В произвольной точке M∈ F0 имеем:
                                          r r         r
                                         dr = ru du + rv dν ,
                  r r
то есть в базисе ru , rv касательного векторного подпространства TM век-
     r
тор dr определяется координатами:
                                              r
                                             dr (du , dν ) .
Найдем скалярный квадрат:
                    (drr )
                         2     r          2   rr                2 r2
                             = r 2 u (du ) + 2ru rv dudν + (dν ) rν .
Введем обозначения:
                                        r2                 rr         r2
                             γ 11 = ru ; γ 12 = γ 21 = ru rν ; γ 22 = rν           (2)
Получим:
                    (drr ) = γ (du )
                         2
                                   11
                                             2
                                                 + 2γ 12 dudν + γ 22 (dν )
                                                                 (3)
                                                                            2


     Очевидно, что правая часть равенства (3) является квадратичной
           r
формой q (dr ) , заданной на векторном подпространстве. Причем, если
 r            r2
dr ≠ 0 , то (dr ) > 0 . Следовательно, на TM задана положительная опреде-
ленная билинейная форма (скалярное произведение). То есть TM – евкли-
дово векторное подпространство.
                                                                                   r
 Определение1:                   Квадратичная                       форма       q(dr )
                 = γ 11 (du ) + 2γ 12 dudν + γ 22 (dν )
                             2                                  2
                                                        называется первой
                 квадратичной формой поверхности F0 (или её линей-
                 ным элементом).

     Пусть на поверхности F0 гладкая кривая           γ задана уравнениями:
                                         u = u (t );ν = ν (t ),             (4)
     где t∈ I, (u, v)∈ G. В пространстве линия γ задается уравнением:
                                  r r
                                  r = r (u (t ),ν (t )).
     Дифференцируя по t, получаем:
                             r
                            dr r du r dν
                               = ru    + rν    .                                 (5)
                            dt      dt      dt
                                                 r      r 2
                                           ds dr     ⎛ dr ⎞
     Пусть s – длина дуги линии γ . Тогда    =     = ⎜ ⎟ ,
                                           dt dt     ⎝ dt ⎠
     (см. формулу (6), §4, раздел II). Из формулы (3) имеем:


                                                 45

Страницы