Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

46
=
d
t
ds
2
2212
2
11
)(2)(
dt
dv
dt
dv
dt
du
dt
du
γγγ
+⋅+
(5)
Отсюда
()
(
)
(
)
2
2212
2
11
2
2
νγνγγ
ddudduds ++= (6)
Таким образом,
первая квадратичная форма поверхности имеет
значение квадрата линейного элемента ds (дифференциала длины дуги
s гладкой линии
γ
на этой поверхности при бесконечно малом смещении
точки вдоль этой линии).
Из (5) получаем формулу для вычисления длины дуги линии
γ
с
концами M
1
(t
1
); M
2
(t
2
):
s =
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
1
.2
2
2212
2
11
t
t
dt
dt
d
dt
dv
dt
du
dt
du
ν
γγγ
(7)
§8. Вычисление угла между двумя гладкими линиями, лежащи-
ми на поверхности, и площади гладкой компактной поверхности.
Пусть гладкая поверхность F
0
задана уравнением
(
)
.,
ν
urr
r
r
=
(1)
Пусть γ
1
, γ
2
– две гладкие линии на поверхности F
0
, проходящие че-
рез точку M (рис. 1)
Рис.1
2
γ
1
r
d
r
r
r
δ
ϕ
0
F
M
                          ds         du           du dv       dv
                             = γ 11 ( ) 2 + 2γ 12   ⋅ + γ 22 ( ) 2
                          dt         dt           dt dt       dt
                                          (5)
         Отсюда (ds ) = γ 11 (du ) + 2γ 12 dudν + γ 22 (dν )
                          2          2                         2
                                                                     (6)

      Таким образом, первая квадратичная форма поверхности имеет
значение квадрата линейного элемента ds (дифференциала длины дуги
s гладкой линии γ на этой поверхности при бесконечно малом смещении
точки вдоль этой линии).
      Из (5) получаем формулу для вычисления длины дуги линии γ с
концами M1(t1); M2(t2):

                                                   ⎛ dν ⎞
                                2                          2
                  t2
                         ⎛ du ⎞         du dv
              s = ∫ γ 11 ⎜    ⎟ + 2γ 12   ⋅ + γ 22 ⎜ ⎟ dt.           (7)
                  t
                  1      ⎝ dt ⎠         dt dt      ⎝ dt ⎠



     §8. Вычисление угла между двумя гладкими линиями, лежащи-
  ми на поверхности, и площади гладкой компактной поверхности.

     Пусть гладкая поверхность F0 задана уравнением
                                          r r
                                          r = r (u ,ν ).             (1)
      Пусть γ1, γ2 – две гладкие линии на поверхности F0, проходящие че-
рез точку M (рис. 1)

                                          r
                                         dr ϕ δrr
                                                     γ1
                                          M
                                γ2
                                     F0


                       Рис.1




                                          46

Страницы